Циклической (угловой, радиальной круговой) частотой называют скалярную физическую величину, которая служит мерой вращательного или колебательного движения.
Циклическая частота
Определение циклической частоты
Определение
Угловая скорость при равномерном движении по окружности является постоянной величиной, в этом случае ее называют циклической частотой.
Циклическая частота гармонических колебаний
Колебательные движения играют важную роль в самых разных вопросах физики. Рассмотрим колебания материальной точки. При колебаниях материальная точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение при движении в одном направлении.
Самым важным колебательными движениями являются гармонические колебания. Сущность таких колебаний проще всего рассмотреть на следующей кинематической модели. Путь точка M со скоростью ($v$) постоянной по величине движется по окружности радиуса A. При этом ее угловая скорость равна ${\omega }_0=const$ (рис.1).
Проекция точки на диаметр окружности, например на ось X, совершает колебания от $N_1$ до $N_2\ $и обратно (точка N). Такое колебание N ,будет называться гармоническим. Для его описания следует записать координату точки N, как функцию от времени ($t$). Пусть при $t=0$ радиус OM образует с осью X угол ${\varphi }_0$. Через некоторый промежуток времени этот угол получит приращение ${\omega }_0t$ и станет равен ${\omega }_0t+{\varphi }_0$, тогда:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1\right).\]Выражение (1) является аналитической формой записи гармонического колебания точки N по диаметру $N_1N_2$.
Рассмотрим формулу (1). Параметр $A$ - максимальное отклонение точки, совершающей колебания, от положения равновесия (точки О - центра окружности), амплитуда колебаний.
Величина ${\omega }_0$ - циклическая частота колебаний. $\varphi =({\omega }_0t+{\varphi }_0$) - фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - начальная фаза колебаний. Циклическую частоту гармонических колебаний определим как частную производную от фазы колебаний по времени:
\[{\omega }_0=\frac{?\varphi }{\partial t}=\dot{\varphi }\left(2\right).\]Если начальная фаза колебаний равна нулю, то
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t\right)\ }\left(3\right).\]При $\varphi =\frac{\pi }{2}$ :
\[x=A{{\rm s}in \left({\omega }_0t\right)\ }\left(4\right).\]Выражения (3) и (4) показывают, что при гармонических колебаниях абсцисса $x$ - это функция синус или косинус от времени. При графическом изображении гармонических колебаний получается косинусоида или синусоида. Форма кривой определена амплитудой колебаний и величиной циклической частоты. Положение кривой зависит от начальной фазы.
Период (T) колебаний и циклическая частота связаны формулой:
\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(5\right).\]Циклическую частоту с частотой $\nu$ связывает выражение:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(6\right).\]Единицей измерения циклической частоты в Международной системе единиц (СИ) является радиан, деленный на секунду:
\[\left[{\omega }_0\right]=\frac{рад}{с}.\]Размерность циклической частоты:
\[{\dim \left({\omega }_0\right)=\frac{1}{t}.\ }\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова циклическая частота гармонических колебаний точки, которые происходят по оси X, если амплитуда колебаний $A=$15 см; максимальная скорость колебаний точки $v_{max}=45\frac{см}{с}$.
Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний точки, если известно, что они происходят по оси X:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1.1\right).\]Скорость этих колебаний найдем, используя (1.1) и кинематическую связь координаты $x$ и соответствующей компоненты скорости:
\[v=\frac{dx}{dt}=-A{\omega }_0\left({\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\right)\left(1.2\right).\]Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равна:
\[v_{max}=Aщ_0\ \left(1.3\right).\]Следовательно, циклическую частоту колебаний находим как:
\[{\omega }_0=\frac{v_{max}}{A}.\]Вычислим величину циклической частоты:
\[{\omega }_0=\frac{45}{15}=3\ (\frac{рад}{с}).\]Ответ. ${\omega }_0=3\frac{рад}{с}$
Пример 2
Задание. Чему равна циклическая частота колебаний груза, массы $m$ подвешенного на пружине, коэффициент упругости которой $k$?
Решение. Сделаем рисунок.
Рассмотрим систему, которая состоит из груза, массы $m$ который закреплен на упругой пружине, с коэффициентом жесткости $k$. Будем считать, что сила тяжести, действующая на груз не существенна. Если пружину растянуть (сжать), то сила упругости, возникающая в результате деформации, действующая на груз при небольших деформациях по закону Гука равна:
\[F=-kx\ \left(2.1\right),\]где $x$ - удлинение пружины. В соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения принимает вид:
\[ma=m\ddot{x}=-kx\left(2.2\right).\]Допустим, что:
\[k=m{\omega }^2_0\ \left(2.3\right),\]тогда уравнение (2.2) преобразуется к виду:
\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\ \left(2.4\right).\]Общее решение уравнения (2.4) это:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(2.5\right).\]Значит, груз на пружине совершает колебания, циклическая частота которых равна:
\[k=m{\omega }^2_0\to {\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.\]Ответ. ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
Читать дальше: гидростатика.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
