Соединенные между собой сосуды называют сообщающимися.
Сообщающиеся сосуды
Определение сообщающихся сосудов
Определение
В таких сосудах жидкость имеет возможность перетекать из одной емкости в другую (рис.1). Форма сообщающихся сосудов может быть самая разная.
Допустим, что в сообщающиеся сосуды налита однородная жидкость, то в этих сосудах жидкость устанавливается на одном уровне, если давление над поверхностью жидкости одинаково, и не важно какую форму имеют сосуды. В неподвижной жидкости давление ($p$) на одном уровне в сообщающихся сосудах является равным, так как мы знаем, что:
\[p=\rho gh\ \left(1\right),\]где $\rho $ - плотность жидкости; $g$ - ускорение свободного падения; $h$ - высота столба жидкости. Так как давление на одном уровне жидкости одинаково, то равными будут и высоты столбов жидкости.
Жидкости разной плотности в сообщающихся сосудах
Допустим, что в сообщающиеся сосуды налили жидкость разной плотности (рис.2(б)). В состоянии равновесия жидкостей, их уровни не будут находиться на одном уровне (высоты столбов жидкости равными не будут).
Жидкости в сосудах находятся в равновесии. Давления на уровне A (граница раздела разных жидкостей) (рис. 2 (б)) равны:
\[{\rho }_1gh_1={\rho }_2gh_2\left(2\right),\]где ${\rho }_1$ и ${\rho }_2$ - плотности жидкостей. Найдем отношение высот столбов жидкостей в сосудах:
\[\frac{h_1}{h_2}=\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}\left(3\right).\]Формула (3) говорит о том, что в сообщающихся сосудах высоты столбиков жидкости над уровнем их раздела обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей. При одинаковом давлении над поверхностями жидкостей, высота столба жидкости с меньшей плотностью будет больше, чем высота столба более плотной жидкости.
Гидравлический пресс и другие примеры использования сообщающихся сосудов
В технике сообщающиеся сосуды используют часто. Например, существует такое устройство, как гидравлический пресс. Его изготавливают из двух цилиндров разного радиуса, в которых находятся поршни (рис.3). Сообщающиеся сосуды пресса обычно заполняют минеральным маслом.
Пусть площадь первого поршня, к которому прикладывают силу ${\overline{F}}_1,$ равна $S_1$, площадь второго $S_2$, к нему приложена сила ${\overline{F}}_2$. Давление, которое создает первый поршень равно:
\[p_1=\frac{F_1}{S_1}\left(4\right).\]Второй поршень давит на жидкость:
\[p_2=\frac{F_2}{S_2}\left(5\right).\]Если система находится в состоянии равновесия, то по закону Паскаля давления $p_1$ и $p_2$ равны:
\[\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}\left(6\right).\]Получим:
\[F_1=F_2\frac{S_1}{S_2}(7)\]величина первой силы больше модуля силы $F_2$ в $\frac{S_1}{S_2}$ раз. Это означает, что при помощи гидравлического пресса, прикладывая небольшую силу к поршню малого сечения, можно получить большую по величине силу, которая будет действовать на большой поршень.
По принципу сообщающихся сосудов, в особенности раньше, действовал водопровод. Такой водопровод сейчас еще можно наблюдать на дачных участках. На относительно большой высоте устанавливается бак с водой, от бака идут водопроводные трубы, закрываемые кранами. Давление у кранов соответствует давлению столба воды, который равен разности высот уровень крана - уровень воды в баке.
Принципом сообщающихся сосудов пользовались, когда проектировали фонтаны, работающие без насосов, шлюзы на реках и каналах.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Имеются два цилиндрических сосуда. Высота столба жидкости в одном равна $h_1$, в другом $h_2$. Эти сосуды соединяют трубкой. Насколько изменится высота столба жидкости в левом сосуде, если площадь поперечного сечения его $S_1>S_2$ , $S_2$ - площадь сечения правого сосуда. Объемом трубки пренебречь.
Решение. После того как сосуды соединили, они стали сообщающимися. Часть жидкости из левого сосуда перетечет в правый. Так как жидкость в правом и левом сосудах одна и та же, то уровни жидкости в обоих сосудах будут находиться на одном уровне, то есть высота столбиков жидкости станет равна $H$ в обоих коленах емкости. Определим, какой объем воды перетечет из левого колена в правое:
\[\Delta V_1=\left(h_1-H\right)S_{1\ }\left(1.1\right),\]где $S_{1\ }$ - площадь поперечного сечения левого сосуда (сосуда из которого вытекает жидкость). В правом сосуде эта жидкость займет объем равный:
\[\Delta V_2=\left(H-h_2\right)S_{2\ }\left(1.2\right),\]где $S_{2\ }$ - площадь поперечного сечения правого сосуда. Так как мы считаем, что жидкость не сжимаема, то имеем:
\[\Delta V_1=\Delta V_2\left(1.3\right).\]Приравниваем правые части выражений (1.2) и (1.1), выражаем высоту столбиков жидкости в правой и левой части сообщающихся сосудов:
\[\left(h_1-H\right)S_{1\ }=\left(H-h_2\right)S_{2\ }\to H=\frac{h_1S_{1\ }+S_{2\ }h_2}{S_1+S_{2\ }}\ \left(1.4\right).\]Используя выражение (1.4), изменение высоты жидкости в левом колене, получим равным:
\[\Delta h=h_1-H=h_1-\frac{h_1S_{1\ }+S_{2\ }h_2}{S_1+S_{2\ }}=\frac{h_1S_1+h_1S_2-h_1S_{1\ }-S_{2\ }h_2}{S_1+S_{2\ }}=\] \[=\frac{h_1S_2-S_{2\ }h_2}{S_1+S_{2\ }}=\frac{h_1-h_2}{S_1+S_{2\ }}S_2.\]Ответ. $\Delta h=\frac{h_1-h_2}{S_1+S_{2\ }}S_2$
Пример 2
Задание. Какой будет сила давления на большой поршень (площадью $S_1$) гидравлического пресса, если площадь его малого поршня равна $S_2$, при этом на него действует сила равная $F_2$?
Решение. В теоретическом разделе сказано, что гидравлический пресс представляет собой систему из сообщающихся сосудов (рис.3). Из закона Паскаля следует, что, прикладывая небольшую силу ($F_2$) к поршню малого сечения ($S_2$) пресса, можно получить большую по величине силу, которая будет действовать на большой поршень ($S_1$):
\[F_1=F_2\frac{S_1}{S_2}(2.1)\]Ответ. $F_1=F_2\frac{S_1}{S_2}$
Читать дальше: условия плавания тел.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
