Тело может находиться в состоянии покоя только относительно определенной системы отсчета. В состоянии равновесия скорость и ускорение всех элементов тела в этой системе равняются нулю.
Равновесие
Равновесие твердых тел изучает статика. Это раздел механики, который является частным случаем динамики.
Условия равновесия твердого тела
Определение
Отталкиваясь от этого тезиса, устанавливается необходимое условие равновесия тел. При этом применяется теорема о движении центра масс. Согласно одному из следствий данной теоремы внутренние силы не могут изменить характер движения центра масс, его движение определяют только внешние силы. В состоянии равновесия ускорения всех элементов тела равны нулю, значит равно нулю ускорение центра масс, которое определяется векторной суммой внешних сил, приложенных к телу. Получается, что в состоянии равновесия сумма внешних сил, приложенных к телу равна нулю.
И так, если равнодействующая внешних сил, действующих на тело равна нулю, то ускорение центра масс ноль (${\overline{a}}_c=0$), что означает постоянство скорости движения центра масс (${\overline{v}}_c=const$). Если начальная скорость центра масс равна нулю, то и далее центр масс будет находиться в состоянии покоя.
Первое условие равновесия тела
Первое условие равновесия тела формулируют так: Равновесие тела требует, чтобы равнодействующая всех сил ($\overline{F}$), которые приложены к телу была равна нулю:
\[\overline{F}=\sum\limits_i{{\overline{F}}_i=0\ при\ {\overline{v}}_c=0\left(1\right),}\]
${\overline{F}}_i$ - вешние силы, приложенные к телу. Если сумма сил равна нулю, равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. Для того чтобы тело находилось в состоянии покоя нужно, чтобы начальная скорость центра масс была равна нулю.
Выполнение первого условия равновесия необходимо, но недостаточно. Если выполняется первое условие, то будет покоиться центра масс, а не обязательно все тело. Например, если тело будет вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс, центр масс покоится, а тело движется. Для выяснения того, что еще необходимо чтобы тело не вращалось, и было в состоянии равновесия, используем основной закон динамики вращательного движения твердого тела:
\[\overline{M}=J\overline{\varepsilon }\left(2\right),\]
где $\overline{M}=\sum\limits_i{\overline{M_i}}$ - сумма моментов внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; $J$ - момент инерции тела по отношению к той же оси.
При условии $\overline{M}$=0, получаем, что угловое ускорение тела равно нулю ($\overline{\varepsilon }=0$), следовательно, угловая скорость тела постоянна ($\omega =const$). Если в начальный момент времени угловая скорость была равна нулю, то и далее тело вращаться не будет.
Второе условие равновесия тела
Равенство нулю моментов внешних сил, приложенных к телу, относительно любой оси при нулевой начальной угловой скорости - второе условие равновесия тела:
\[\overline{M}=\sum\limits_i{\overline{M_i}}\ при\ \omega =0\ \left(3\right).\]
Первое и второе условия (1) и (3) - необходимые и достаточные условия равновесия любого твердого тела.
Виды равновесия
Равновесие тела может быть разным, это зависит от распределения массы тела по объему и положения тела относительно других тел. Выделяют устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.
Равновесие является устойчивым, если после того как тело вывели из равновесия, оно вернется в то же положение равновесия. В устойчивом положении равновесия центр тяжести занимает самое низкое положение в сравнении со всеми возможными соседними положениями тела. Потенциальная энергия тела в положении устойчивого равновесия минимальна. Принцип минимума потенциальной энергии - один из общих принципов устойчивости положения равновесия систем.
Равновесие, которое может быть нарушено небольшим внешним воздействием называют неустойчивым.
Безразличное равновесие сохраняется при любых смещениях и поворотах тела. В случае безразличного равновесия потенциальная энергия тела не изменяется.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Однородный шар массы $m$ подвешен на нерастяжимой нити так, как указано на рис.1. Какова сила натяжения нити, если она составляет угол $\varphi $ с вертикальной стеной, которой касается шар. Силу трения шара о стену не учитывайте.
Решение. Определим, какие силы действуют на шар. Это сила тяжести ($m\overline{g}$); сила натяжения нити ($\overline{N}$); сила реакции опоры (${\overline{F}}_r$). Изобразим их на рис.1 (а).
Шар находится в состоянии равновесия, для него запишем второй закон Ньютона, учитывая, что ускорение шара равно нулю:
\[m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_r=0\ \left(1.1\right).\]
Проекции уравнения (1.1) на оси X и Y дают уравнения:
\[\left\{ \begin{array}{c} X:-\ F_r+N{\sin \varphi \ }=0\left(1.2\right), \\ Y:N{\cos \varphi -mg=0\ }\left(1.3\right). \end{array} \right.\]
Из уравнения (1.3) выразим силу реакции нити:
\[N=\frac{mg}{{\cos \varphi \ }}.\]
Ответ. $N=\frac{mg}{{\cos \varphi \ }}$
Пример 2
Задание. Определите, какова сила давления ($F$) шара на стену в задаче первого примера?
Решение. Сила давления на стену приложена к стене. Эта сила, в соответствии с третьим законом Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры, действующей на шар ($F_r$):
\[{\overline{F}}_r=-\overline{F}\left(2.1\right).\]
Из формулы (1.2) выразим силу реакции стены:
\[F_r=N{\sin \varphi \ }\left(2.2\right).\]
Подставим в (2.2) найденную в примере 1 силу натяжения нити, получим:
\[F_r=\frac{mg}{{cos \varphi \ }}{\sin \varphi =mg\ tg\ \varphi .\ }\]
Ответ. $F_r=mg\ tg\ \varphi $
Читать дальше: равнодействующая сила.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
