Пружинный маятник представляет собой груз массой $m$, подвешенный на пружине, которую считают абсолютно упругой (ее коэффициент упругости равен $k$).
Пружинный маятник
Определение пружинного маятника
Определение
Рассмотрим вертикальные движения груза, которое происходит под воздействием силы упругости пружины и силы тяжести, если система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Массу пружины учитывать не будем, считая ее малой в сравнении с массой груза. Начало отсчета поместим на оси X (ось направлена вниз) в точке равновесия груза. По закону Гука, при растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила, которая пропорциональна величине растяжения (сжатия):
\[F_u=-kx\ \left(1\right).\]Тело на пружине совершает линейные колебания. Колебания пружинного маятника часто рассматривают как свободные и незатухающие. Уравнением движения считают выражение:
\[m\ddot{x}=-kx\ (2)\]или
\[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\ \left(3\right).\]Решением уравнения (3) является гармоническая функция:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=B{\sin \left({\omega }_0t+{\varphi }_1\right)\ }\ }\left(4\right),\]где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний. Функция (4) является периодической.
Период колебаний пружинного маятника равен:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\left(5\right).\]Формула (5) является справедливой для упругих колебаний, колебаний для которых выполняется закон Гука (масса пружины должна быть существенно меньше массы тела, которое к ней подвешено).
Пружинный маятник является примером гармонического осциллятора. Колебания гармонического осциллятора служат важным примером периодического движения и являются моделью во многих задачах физики.
Амплитуда и начальная фаза прежинного маятника
Для нахождения амплитуды и начальной фазы колебаний маятника необходимо знать положение и скорость колебаний маятника в некоторый момент времени. Пусть колебания описывают уравнением вида:
\[x(t)=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\]координата груза в момент времени $t=0$ равна $x_0$, скорость в этот момент времени равна $v_0$, тогда на основе уравнения $x(t)$ запишем:
\[x_0=A{\cos \varphi ;;{\ \dot{x}}_0=v_0=-A\ }{\omega }_0{\sin \varphi \ \left(7\right),\ }\]тогда из уравнений (7) амплитуда равна:
\[A=\sqrt{x^2_0+\frac{v^2_0}{{\omega }^2_0}}\left(8\right),\]начальная фаза при этом:
\[tg\ \varphi =-\frac{v_0}{x_0{\omega }_0}\left(9\right).\]Зная начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника.
Энергия прежинного маятника
Представление о потенциальной энергии имеет смысл только в том случае, если силы потенциальны. При одномерном движении, как у пружинного маятника между двумя точками есть только один путь. То есть автоматически обеспечивается условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). (Отметим, что сила трения не является потенциальной даже в одномерном случае, так как она зависит от направления скорости).
В случае пружинного маятника удобно за ноль потенциальной энергии считать энергию маятника в положении равновесия, поместив его в начале координат. Используя формулу связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:
\[E_p=-\frac{dF}{dx}(10)\]учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$, получаем\textit{ }потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:\textit{}
\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{m{\omega }^2x^2}{2}\left(11\right).\]Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:
\[\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{m{\omega }^2x^2}{2}=const\ \left(12\right).\]Закон сохранения энергии можно получить непосредственно из уравнения движения (3).
Из закона сохранения энергии можно сделать следующие выводы:
- Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
- Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Груз, висящий на упругой пружине, совершает колебания по вертикали с амплитудой равной $A=0,08$ м. Какова жесткость пружины, если максимальная кинетическая энергия груза равна $E_{k\ max}=0,8$ Дж?
Решение.Для решения задачи воспользуемся первым следствием закона сохранения (Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии):
\[E_{k\ max}=E_{p\ max}\left(1.1\right).\]Потенциальная энергия груза на пружине равна:
\[E_{p\ }=\frac{kx^2}{2}\ \left(1.2\right).\]Потенциальная энергия пружинного маятника равна максимуму, когда $x=A\ \left(см\ уравнение\ колебаний:\ x\left(t\right)=A{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\right),\ $следовательно:
\[E_{p\ max}=\frac{kA^2}{2}=E_{k\ max}\left(1.3\right).\]Выразим коэффициент упругости из формулы (1.3), получим:
\[k=\frac{2E_{k\ max}}{A^2}.\]Вычислим коэффициент жесткости:
\[k=\frac{2\cdot 0,8}{{(0,08)}^2}=250\ (\frac{Н}{М}).\]Ответ. $k=250\frac{Н}{М}$
Пример 2
Задание. При увеличении массы груза, прикрепленного к вертикальной упругой пружине, на величину $\Delta m,$ период колебаний увеличился в $n$ раз. Какова масса первого груза?\textit{}
Решение. Основой для решения задачи служит формула периода колебаний пружинного маятника:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\ \left(2.1\right).\]Эту формулу следует записать для первого груза:
\[T_1=2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}(2.2)\]и второго груза:
\[T_2=2\pi \sqrt{\frac{m_1+\Delta m}{k}}(2.2)\]По условию $\frac{T_2}{T_1}=n$, найдем отношение правых частей выражений (2.2) и (2.1):
\[\frac{T_2}{T_1}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{m_1+\Delta m}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}}=\sqrt{\frac{m_1+\Delta m}{m_1}}=n\ \left(2.3\right).\]Из (2.3) выразим искомую массу:
\[n^2=\frac{m_1+\Delta m}{m_1}\to m_1n^2=m_1+\Delta m\to m_1=\frac{\Delta m}{n^2-1}.\]Ответ. $m_1=\frac{\Delta m}{n^2-1}$
Читать дальше: работа.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
