Словосочетание линейная скорость используют тогда, когда рассматривая криволинейное движение тела, и хотят подчеркнуть разницу между скоростью $v\ $и уголовной скоростью $\omega $. Чаще всего слово линейная опускают и говорят просто скорость.
Отношение перемещения ($\Delta \overline{r}$) к промежутку времени в течение которого это перемещение произошло, называют средней скоростью ($\left\langle \overline{v}\right\rangle $) движения:
\[\left\langle \overline{v}\right\rangle =\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}\left(1\right),\]где $\Delta \overline{r}$ - изменение радиус-вектора материальной точки за время $\Delta t$ (рис.1).
Вектор средней скорости $\left\langle \overline{v}\right\rangle $ имеет такое же направление как вектор $\Delta \overline{r}$, так как $\Delta t>0$. Длина отрезка, изображающего вектор средней скорости (рис.1) не связана с длиной вектора $\Delta \overline{r}$.
Средняя скорость характеризует быстроту перемещения точки. Данная характеристика относится к определенному промежутку времени.
Если тело движется по кривой, то путь ($\Delta s$) больше модуля перемещения ($\Delta r$) за один и тот же промежуток времени, так как длина дуги всегда меньше длины стягивающей ее хорды (рис.1). Путь и перемещение совпадают при прямолинейном движении в одном направлении. Величина средней скорости прохождения пути определена как:
\[\left\langle v\right\rangle {\rm =}\frac{\Delta s}{\Delta t}\left(2\right).\]Средняя скорость характеризует быстроту перемещения материальной точки за конечный промежуток времени
Уменьшая промежуток времени, в который рассматривается движение частицы ($\Delta t\to 0$), мы получаем характеристику движения точки в данный момент времени. Величина равная:
\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left\langle \overline{v}\right\rangle =\ }{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}=\frac{d\overline{r}}{dt}\left(3\right),\ }\]называется мгновенной скоростью или просто скоростью.
При вычислении скорости по формуле (3) очевидно, что уменьшение промежутка времени $\Delta t$ ведет к тому, что в конце концов очередные получаемые величины средней скорости будут мало отличаться друг от друга. Поэтому при нахождении мгновенной скорости останавливаются на конечном значении $\Delta t,\ $но малом, для того чтобы была возможность получить необходимую точность величины скорости.
Предельный переход (3) имеет геометрический смысл. Вектор $\Delta \overline{r}$ направлен вдоль хорды, соединяющей две точки траектории, сближение этих точек ведет к тому, что этот вектор принимает положение касательной к траектории движения в данной точке. Получается, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения. При прямолинейном движении вектор скорости направлен по прямой.
Скорость прохождения пути определена аналогично:
\[v={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\left(4\right).\ }\]Если траектория движения материальной точки - плавная кривая, то чем короче дуга, тем ближе она по длине к длине хорды. В предельном переходе при$\ \Delta t\to 0$ можно считать, что $\Delta s\to \Delta r$. Следовательно,
\[v={\mathop{lim}_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta r}{\Delta t}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{dr}{dt}=\frac{ds}{dt}\left(5\right).\ }\ }\]Скорость является векторной величиной. Если материальная точка принимает участие в нескольких движениях, то его скорость находят как векторную сумму скоростей каждого из движений:
\[\overline{v}=\sum\limits_i{{\overline{v}}_i\left(6\right).}\]В некоторых случаях удобно представлять сложное движение как наложение нескольких простых движений. Тогда равенство (6)можно рассматривать, как правило разложения вектора скорости на составляющие.
При неравномерном движении материальная точка обладает ускорением ($\overline{a}$). Ускорение является первой производной от скорости по времени:
\[\overline{a}=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(7\right).\]Из выражения (7) следует, что зная ускорение точки, скорость находят как:
\[\overline{v}=\int\limits^{t_2}_{t_1}{\overline{a}dt}\left(8\right).\]При движении по окружности вместе со скоростью движения по траектории ($v$- линейная скорость) вводят угловую скорость ($\omega $), которая характеризует быстроту изменения угла поворота $\varphi $:
\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(9\right).\]Связь между линейной и угловой скоростями задана выражением:
\[v=R\omega \left(10\right).\]Задание. Изменение радиус-вектора, определяющего положение материальной точки, задано уравнением: $\overline{r\ }\left(t\right)=t^4\overline{i}+3t^2\overline{j},$ где $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы осей X и Y (рис.2). Какова величина мгновенной скорости точки в момент времени $t=1$c?
Решение. Скорость частицы определим как:
\[\overline{v}={\frac{d\overline{r}}{dt} \left(1.1\right).\ }\]Подставляем в формулу (1.1) уравнение для радиус-вектора $\overline{r\ }\left(t\right)=t^4\overline{i}+3t^2\overline{j},$ получаем:
\[\overline{v}=\frac{d}{dt}\left(t^4\overline{i}+3t^2\overline{j}\right)=4t^3\overline{i}+6t\overline{j}\ \left(1.2\right).\]Из уравнения (1.2) мы видим, что:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=4t^3 \\ v_y=6t \end{array} \right.\left(1.3\right).\]
Следуя теореме Пифагора, модуль скорости найдем как:
\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}=\sqrt{{\left(4t^3\right)}^2+{\left(6t\right)}^2}=\sqrt{16t^6+{36t}^2}.\]Вычислим скорость, подставив в полученную формулу время $t=1$c:
\[v\left(t=1\right)=\sqrt{16+36}\approx 7,2\ \left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ. $v$=7,2 $\frac{м}{с}$
Задание. Материальная точка движется прямолинейно. Ускорение этой точки увеличивается в соответствии с графиком (рис.3). Какой будет скорость движения точки в момент времени $t_1?$
Решение. На графике рис.3 ускорение изображено прямой, выходящей из начала координат, на основе рис.3 аналитическое выражение для ускорения запишем как:
\[a=kt\ \left(2.1\right),\]где $k=tg\ \alpha $.
Скорость точки найдем как:
\[v=\int\limits^{t_1}_0{a\left(t\right)dt=}\int\limits^{t_1}_0{ktdt=}\frac{kt^2_1}{2}=\frac{tg\ \alpha \cdot t^2_1}{2}.\]Ответ. $v=\frac{tg\ \alpha \cdot t^2_1}{2}$
Читать дальше: материальная точка.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
