Механическая работа, теория и онлайн калькуляторы
Механическая работа
Определение и формула для расчета механической работы
Для количественной характеристики процесса обмена энергиями между взаимодействующими телами в механике используют понятие «работа силы».
При прямолинейном движении тела и действии на него постоянной силы ($\overline{F}$), составляющей некоторый угол $\alpha $ с направлением перемещения тела ($\overline{s}$), работой силы ($A$) является величина равная:
\[A=\overline{F}\overline{s}=Fs{\cos \alpha \ \left(1\right).\ }\]
Из формулы (1) следует, что при $\alpha \frac{\pi }{2}$ работа силы является положительной величиной, при этом проекция силы на направление перемещения совпадает с направлением вектора скорости движения тела. При $\alpha =\frac{\pi }{2}$ работа силы равна нулю.
При воздействии на тело сила может изменяться как по величине, так и по направлению, поэтому для общего случая выражение (1) для расчёта механической работы не применяют. Поступают следующим образом. Рассматривают бесконечно малое перемещение тела ($d\overline{s}$) на котором силу можно считать постоянной, а движение точки приложения силы прямолинейным. Тогда элементарной работой ($dA$) силы $\overline{F}$ на перемещении $d\overline{s}$ называют скалярную величину, равную:
\[dA=\overline{F}d\overline{s}=Fds{\cos \alpha \ }\left(2\right),\]
где $\alpha $ - угол между векторами $\overline{F\ }и\ d\overline{s}$; $\left|d\overline{s}\right|$ - элементарный путь. При этом механическая работа силы на участке траектории от одной точки до другой находят как алгебраическую сумму элементарных работ на отдельных малых участках. В большинстве случаев суммирование заменяют интегрированием:
\[A=\int\limits^2_1{dA=\int\limits^2_1{Fds{cos \alpha \ }\left(3\right).}}\]
Для того чтобы вычислить интеграл (3) необходимо знать зависимость силы от пути по траектории от первой точки до второй. Если зависимость силы от пути задана графически, то механическая работа равна площади криволинейной трапеции, которая ограничена внизу осью абсцисс, вверху графиком F(s), справа и слева ординатами крайних точек.
Единицей измерения работы в Международной системе единиц (СИ) служит джоуль (Дж). Один джоуль - это работа, которую совершает сила в один ньютон на пути один метр.
\[\left[A\right]=1Н\cdot 1м=1Дж.\]
Работа и кинетическая энергия тела, работа консервативных сил
Элементарная механическая работа равна бесконечно малому изменению кинетической энергии тела ($dE_k$):
\[dA=dE_k\left(4\right).\]
Работа силы на конечном участке пути равна изменению кинетической энергии тела:
\[A=E_{k2}-E_{k1}\left(5\right),\]
$E_{k2};;E_{k1}$ - кинетические энергии тела в конечной и начальной точках траектории. Выражение (5) выполняется при движении тел с любыми скоростями.
Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии ($E_p$) системы взаимодействующих тел:
\[A=-\left(E_{p2}-E_{p1}\right)\left(6\right).\]
Формулы для вычисления работы некоторых сил
Работа силы упругости при растягивании пружины может быть найдена как:
\[A=\frac{kx^2_1}{2}-\frac{kx^2_2}{2}\left(7\right),\]
где $k$ - коэффициент упругости; $\ x_2-x_1$ - удлинение пружины при изменении ее длины. При растяжении пружины работа силы упругости отрицательна.
Работа силы Кулона по перемещению заряда из точки, которая определена радиус-вектором ${\overline{r}}_1$ в точку, определяемую радиус-вектором ${\overline{r}}_2$ равна:
\[A=\frac{q_1q_2}{4\pi {\varepsilon }_0r_1}-\frac{q_1q_2}{4\pi {\varepsilon }_0r_2}\left(8\right),\]
$r_1$;$\ r_2$ - длины радиус-векторов начальной и конечной точек траектории движения точки приложения силы, совершающей работу; $q_1,q_2$ - электрические заряды. При увеличении расстояния между зарядами силы отталкивания выполняют положительную механическую работу, силы притяжения - отрицательную. Работа силы Кулона не зависит от траектории движения тела.
Работу сил гравитации вычисляют, применяя формулу:
\[A=\gamma \frac{m_1m_2}{r_2}-\gamma \frac{m_1m_2}{r_1}\left(9\right),\]
$m_1,m_2$ - массы взаимодействующих тел; $\gamma $ - гравитационная постоянная. Работа сил гравитации не зависит от траектории движения тел. Она определена только радиус-векторами начальной и конечной точек траектории.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Тело имеет массу, равную $m$. Его поднимают с ускорением $a$. Какова работа поднимающей силы, если тело подняли на высоту $h$?
Решение. Сделаем рисунок.
Используя второй закон Ньютона, опираясь на рис.1 найдем величину силы, которая совершает механическую работу:
\[m\overline{g}+\overline{F}=m\overline{a}\left(1.1\right).\]
В проекции на ось Y уравнение (1.1) имеет вид:
\[F-mg=ma\ \left(1.2\right).\]
выразим F из (1.2):
\[F=m\left(a+g\right)\left(1.3\right).\]
Если сила при движении тела остается постоянной, то работу найдем, используя формулу:
\[A=\overline{F}\overline{s}=Fs{\cos \alpha \ \left(1.4\right),\ }\]
где по условию задачи $s=h$. Из рис.1 видно, что направление силы совпадает с направлением перемещения, поэтому окончательная формула для работы принимает вид:
\[A=Fh=m\left(a+g\right)h.\]
Ответ. $A=m\left(a+g\right)h$
Пример 2
Задание. Некоторое тело массой $m$ поднимают вертикально вверх с поверхности Земли, действуя на него силой $\overline{F}$. Сила изменяется в зависимости от высоты по закону: $\overline{F}=-2m\overline{g}(1-Cy)$, где $C=const>0$. Считая поле силы тяжести однородным определите, какую работу выполняет сила на первой трети подъема? Начальная скорость тела равна нулю.
Решение. Найдем высоту подъема тела. Из закона изменения силы с высотой:
\[\overline{F}=-2m\overline{g}(1-Cy)(2.1)\]
очевидно, что тело будет подниматься, пока сила не станет равной нулю. Из этого условия найдем высоту подъема:
\[-2m\overline{g}\left(1-Cy\right)=0\to 2m\overline{g}\ne 0\to 1-Cy=0\to y=\frac{1}{C}.\]
Работу будем искать, используя ее определение в виде:
\[A=\int\limits^2_1{Fds{cos \alpha \ }\left(2.2\right),}\]
где $ds=dy$ так как движение происходит по оси Y; из уравнения $\overline{F}(y)$ следует, что $\overline{F}\uparrow \uparrow d\overline{s}$, формулу (2.2) представим как:
\[A=\int\limits^2_1{Fdy=\int\limits^{\frac{1}{3C}}_0{2mg\left(1-Cy\right)dy=2mg\left[\int\limits^{\frac{1}{3C}}_0{dy-\int\limits^{\frac{1}{3C}}_0{Cy}dy}\right]}=\frac{5mg}{9C}.}\]
Ответ. $A=\frac{5mg}{9C}$
Читать дальше: механическое движение.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 457 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
