• Главная
• Справочник
• Физика

Скорость

Мгновенная скорость

Местоположение материальной точки в пространстве зададим при помощи радиус-вектора $\overline{r}$. Если точка движется, то $\overline{r}$ изменяется в обще случае по величине и направлению. Пусть в некоторый момент времени ($t_1$) положение точки задает вектор ${\overline{r}}_1$, в другой момент ($t_2$) задает вектор ${\overline{r}}_2$. При этом:

\[t_2-t_1=\Delta t\ \left(1\right).\]

За время $\Delta t$ точка проходит путь, который обозначим $\Delta s$, при этом перемещение точки равно:

\[\Delta \overline{r}={\overline{r}}_2-{\overline{r}}_1\left(2\right).\]

Тогда предел отношения $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ при $\Delta t\to 0$ называют мгновенной скоростью ($\overline{v}$):

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}\ }\left(3\right).\]

Выражение (3) показывает, что скорость можно определить как производную от перемещения по времени:

\[\overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}\left(4\right).\]

Скорость - векторная величина. Вектор $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ - это секущая для траектории движения точки. При предельном переходе точки пересечения вектора $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ сближаются ($\Delta s\to 0$), происходит сливание в одну точку, в результате вектор скорости является касательным к траектории (в соответствующей точке) движения тела.

В проекциях на оси декартовой системы координат вектор скорости можно представить как:

\[\overline{v}=v_x\overline{i}+v_y\overline{j}+v_z\overline{k}\ \left(5\right),\]

где $\overline{i}$; $\overline{j}$; $\overline{k}$ - единичные векторы осей X, Y, Z; $v_x=\frac{dx}{dt};;v_y=\frac{dy}{dt};;\ v_z=\frac{dz}{dt}$. При этом модуль скорости равен:

\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y{+v}^2_z}\left(6\right).\]

Элементарный путь ($\Delta s$) в общем случае не равен модулю элементарного перемещения ($\left|\Delta \overline{r}\right|$), но если рассматривать отрезки пути и перемещения при $\Delta t\to 0$, то различие между этими параметрами будет тем меньше, чем ближе $\Delta t$ к нулю, поэтому можно считать, что:

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\ }\left(7\right).\]

Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:

\[\left[v\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}.\]

В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:

\[\left[v\right]=\frac{м}{с}.\]

Средняя скорость

Направление средней скорости такое же, как у перемещения.

Для количественной оценки средней скорости часто используют следующее определение средней скорости: средняя скорость равна отношению всего пройдённого пути (s) ко времени (t), которое было затрачено на движение:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac{s}{t}\left(9\right).\]

Определяемая таким образом средняя скорость является скалярной величиной.

Формулы скорости при движении разных видов

При равномерном движении скорость тела является постоянной. Ее находят как:

\[v=\frac{s}{t}\left(10\right),\]

где $s$ - путь; $t$ - время движения. При равномерном прямолинейном движении у скорости постоянным является не только величина, но и направление, то есть можно записать:

\[\overline{v}=const.\]

Если известно ускорения точки как функция от времени ($\overline{a}(t)$) и начальная скорость движения тела (при $t=0$) (${\overline{v}}_0$), то скорость можно найти в любой момент времени как:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\int\limits^{t'}_0{\overline{a}(t)}dt\ \left(11\right).\]

При равнопеременном движении (при $\overline{a}=const$) скорость равна:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\ \left(12\right).\]

Примеры задач с решением

Читать дальше: амплитуда колебаний.