Полная энергия колебаний, теория и онлайн калькуляторы
Полная энергия колебаний
Энергия колебаний пружинного маятника
Рассмотрим превращения энергии, которые происходят при гармонических колебаниях в консервативной системе на примере пружинного маятника. Так как пружинный маятник мы считаем консервативной системой, то механическая энергия ее постоянна:
\[E=E_k+E_p=const\ \left(1\right).\]
Проверим справедливость выражения (1),) непосредственным суммированием выражений для кинетической и потенциальной энергии рассматриваемого маятника.
Уравнение колебаний маятника запишем в виде:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)(2)\ },\]
где $x$ - смещение груза маятника по оси X. В таком случае изменение кинетической энергии груза, совершающего колебания на напружине равна:
\[E_k=\frac{m}{2}A^2{{\omega }_0}^2{{sin}^2 \left({\omega }_0t+\varphi \right)\left(3\right).\ }\]
Потенциальна энергия пружинного маятника равна: потенциальной энергии упругодеформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести Земли:
\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{k}{2}A^2{{cos}^2 \left(щ_0t+ц\right)\ }\left(4\right).\]
Суммируем правые части выражений (3) и (4), получим:
\[E=\frac{m}{2}A^2{щ_0}^2{{sin}^2 \left(щ_0t+ц\right)+\ }\frac{k}{2}A^2{{cos}^2 \left(щ_0t+ц\right)\ }=\frac{k}{2}A^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2_0A^2\left(5\right).\]
где ${{\omega }_0}^2=\frac{k}{m}$.
Из формулы (5) мы видим, что неизменная суммарная энергия колебательной системы равна потенциальной ее энергии в точках максимального отклонения от положения равновесия (при $x=\pm A$). Энергия $E$ равна кинетической энергии при прохождении грузом положения равновесия, скорость груза равна:
\[v_x=\pm {\omega }_0A\left(6\right).\]
В ходе взаимных превращений потенциальная и кинетическая энергии гармонически колеблются с одинаковой амплитудой, равной $\frac{E}{2}$ находятся в противофазе друг с другом, частота их колебаний равна $2{\omega }_0$.
\[{E_k =\frac{E}{2}\left[1-{\cos 2({\omega }_0t+\varphi )\ }\right]\left(7\right).\ }\]
\[E_p=\frac{E}{2}\left[1+{cos 2({\omega }_0t+\varphi )\ }\right]\left(8\right).\]
И так, выражения (7) и (8) показывают, что кинетическая и потенциальная энергии колебательной системы совершают гармонические колебания вокруг их общего значения $\frac{E}{2}$ с удвоенной частотой 2${\omega }_0$, тогда как полная энергия системы остается постоянной. Она связана с амплитудой колебаний как:
\[E=\frac{k}{2}A^2.\]
Энергия колебательных систем с одной степенью свободы
Все, что сказано для пружинного маятника можно применить , для любых механических колебаний систем с одной степенью свободы. Мгновенное положение такой системы можно определить, используя один параметр, который называют обобщенной координатой ($q$), например, угла поворота или смещения по оси координат. При этом величина $\dot{q}=\frac{dq}{dt}$ называется обобщённой скоростью.
Потенциальная энергия в таких обозначениях примет вид:
\[E_p=\frac{\alpha q^2}{2}\left(9\right),\]
кинетическая энергия:
\[E_p=\frac{\beta {\dot{q}}^2}{2}\left(10\right),\]
где $\alpha ,\ \beta $ - параметры системы. Полная энергия системы в нашем случае равна:
\[E=\frac{\alpha q^2}{2}+\frac{\beta {\dot{q}}^2}{2}=const\ \left(11\right),\]
обобщенная координата совершает гармонические колебания с частотой:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}\left(12\right).\]
Примеры задач на полную энергию колебаний
Пример 1
Задание. Какова полная энергия колебаний материальной точки массы $m=0,02$ кг, если она совершает колебания по закону: $x=0,1{\cos (2\pi t+\frac{\pi }{3})(м)\ }?$ Потерь энергии в колебательной системе нет.
Решение. Полную энергию гармонических колебаний, которые описаны гармоническим законом $x(t)=0,1{\cos (4\pi t+\frac{\pi }{3})(м)\ }$, зная, что это постоянная величина найдем как:
\[E=\frac{1}{2}m{\omega }^2_0A^2\left(1.1\right).\]
Из уравнения колебаний $x(t)$ мы видим, что:
\[{\omega }_0=4\pi \ \frac{рад}{с};;A=0,1\ м.\]
Вычислим энергию:
\[E=\frac{1}{2}0,02\cdot {\left(4\pi \right)}^2{0,1}^2=1,58\cdot {10}^{-2}\left(Дж\right).\]
Ответ. $E=1,58\cdot {10}^{-2}$Дж.
Пример 2
Задание. Груз на упругой пружине (рис.1) совершает колебания по оси X. Амплитуда колебаний равна $A=6\cdot {10}^{-2}м$. Какова полная энергия колебаний груза, если коэффициент упругости пружины равен $k=500$ $\frac{Н}{м}$? Считайте, что диссипации энергии в системе нет.
Решение. Колебания груза на упругой пружине можно считать гармоническими. По условию потерь энергии нет, следовательно, полная энергия нашего пружинного маятника сохраняется и является постоянной величиной, которую найдем как:
\[E=\frac{k}{2}A^2(2.1).\]
Вычислим энергию системы:
\[E=\frac{500}{2}{(6\cdot {10}^{-2})}^2=0,9\ (Дж).\]
Ответ. $E=0,9Дж$
Читать дальше: понятие силы.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 461 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
