Содержание:

Понятие линейно зависимых и линейно независимых строк необходимо для определения ранга матрицы в следующей теме.

Линейная комбинация строк

Определение

Линейной комбинацией (ЛК) строк $s_{1}, s_{2} \ldots \ldots s_{m}$ матрицы $A$ называется выражение $\lambda_{1} \cdot s_{1}+\lambda_{2} \cdot s_{2}+\ldots+\lambda_{m} \cdot s_{m}$

ЛК называется тривиальной, если все коэффициенты $\lambda_{i}$ равны нулю одновременно.

Пример

Замечание

Тривиальная ЛК равна нулевой строке.

Определение

ЛК называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов $\lambda_{i}$ отличен от нуля.

Слишком сложно?

Линейно зависимые и линейно независимые строки не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

$0 \cdot s_{1}+0 \cdot s_{2}+1 \cdot s_{m}$

Замечание

Нетривиальная ЛК тоже может быть равной нулевой строке.

Пример

$1 \cdot (-2 2) + 2 \cdot (1 -1) = (0 0)$

Линейно зависимые и независимые строки

Определение

Система строк называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует их нетривиальная ЛК, равная нулевой строке.

Пример

Система строк $\left\{s_{1}=\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \end{array}\right), s_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \end{array}\right)\right\}$ , линейно зависима, так как ЛК этих строк $1 \cdot s_{1} + 2 \cdot s_{2}$ равна нулевой строке.

Определение

Система строк называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная ЛК равна нулевой строке.

Пример

Задание. Показать, что система строк $\left\{s_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right), s_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array}\right)\right\}$ является ЛНЗ.

Решение. Составим ЛК заданных строк:

$$\lambda_{1} s_{1}+\lambda_{2} s_{2}=\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} \lambda_{2} & \lambda_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \lambda_{1}+\lambda_{2} & \lambda_{2} \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \end{array}\right) \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l} \lambda_{1}+\lambda_{2}=0 \\ \lambda_{2}=0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \lambda_{1}=0 \\ \lambda_{2}=0 \end{array}\right.\right.$$

То есть ЛК данных строк равна нулевой строке, только если коэффициенты равны нулю одновременно.

Читать дальше: ранг матрицы.