Содержание:

Определение и формула уравнения Бернулли

При рассмотрении движения жидкости очень часто считают, что перемещение одних частей жидкости относительно других не порождает сил трения. При этом жидкость, у которой вязкость (внутреннее трение) равна нулю, носит название идеальной.

Сжимаемой называют жидкость, плотность которой изменяется и может зависеть от температуры и давления.

Баротропной называют жидкость (или газ), плотность которой валяется функцией давления (не является функцией температуры).

Течение жидкости или газа называют стационарным, если скорость и давление жидкости остаются постоянными в каждой точке жидкости (газа).

Определение

Установившееся течение идеальной баротропной жидкости в потенциальном поле сил подчиняется уравнению Бернулли:

$$\varphi_{F}+\frac{v^{2}}{2}+\int \frac{d p}{\rho}=C(1)$$

где $\varphi_{F}$ – потенциал поля массовых сил; C – величина постоянная для всех точек, которые принадлежат одной линии тока и переменная при переходе к другой линии тока; $\rho$ – плотность идеальной жидкости; p – давление, v – скорость жидкости.

Частные случаи уравнения Бернулли

При воздействии на жидкость только силы тяжести (нет других массовых сил), то потенциал поля можно представить:

$$\varphi_{F}=g \approx$$

где g – ускорение свободного падения, ось OZ имеет направление вверх (z – координата (или высота) по данной оси), тогда уравнение Бернулли можно записать как:

$$g z+\frac{v^{2}}{2}+\int \frac{d p}{\rho}=C(2)$$

В том случае, если идеальную жидкость можно считать несжимаемой, уравнение Бернулли применяют в виде:

$$ \begin{array}{l} \rho g z+\frac{\rho v^{2}}{2}+p=C_{1}(3) \\ z+\frac{v^{2}}{2 g}+\frac{p}{\rho g}=C_{2}(4) \end{array} $$

где $\frac{\rho v^{2}}{2}$ – называют скоростным напором или динамическим давлением; p – статическое давление в той точке пространства, где расположен центр массы исследуемого элемента жидкости; $\frac{p^{\prime}}{\rho g}$ – носит название пьезометрической высоты; $\frac{v^{2}}{2 g}$ – скоростная высота, z – высота на которой находится элемент жидкости, который рассматривается.

Расчеты, которые проводят для реальных жидкостей с применением уравнения Бернулли, дают неплохие результаты.

Следствие уравнения Бернулли

1. Пусть все точки текущей жидкости имеют одинаковые величины скоростей. В таком случае для любых произвольных точек, относящихся к одной линии тока, выполняется равенство:

$$p_{1}-p_{2}=\rho g\left(z_{2}-z_{1}\right)(5)$$

где p1 и p2 – давления в точках жидкости, находящихся на высоте z1 и z2, соответственно по вертикальной оси OZ.

Выражение (5) означает, что распределение давления является таким же, как в жидкости, находящейся в покое.

2. Для линии тока, если она горизонтальна уравнение Бернулли (3) примет вид:

$$\frac{\rho v^{2}}{2}+p=C_{1}(6)$$

что означает: давление оказывается меньше там, где скорость больше.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какова скорость течения воды в горизонтальной трубе рис.1? Если в манометрических трубках, указанных на том же рис.1 разность уровней жидкости равна h. Считайте, что диаметры трубок одинаковы.

Решение. В качестве основы для решения задачи используем уравнение Бернулли в виде:

$$\rho g z+\frac{\rho v^{2}}{2}+p=C_{1}(1.1)$$

Запишем уравнение Бернулли для трубки тока в месте нахождения манометрических трубок (1) и (2) (используем (1.1)):

$$\frac{\rho v^{2}}{2}+p_{2}=p_{1}(1.2)$$

Для линии тока при постоянной скорости течения жидкости выполняется:

$$p_{1}-p_{2}=\rho g\left(h_{2}-h_{1}\right)(1.3)$$

Значит, получим:

$$\frac{\rho v^{2}}{2}=\rho g\left(h_{2}-h_{1}\right)=\rho g h \rightarrow v=\sqrt{2 g h}$$

Ответ. $v=\sqrt{2 g h}$

Слишком сложно?

Формула уравнения Бернулли не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Используя уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости, рассматривая истечение ее из маленького отверстия в широком открытом сосуде, получите формулу Торричелли: $v=\sqrt{2 g h}$, где h=h2-h1 - высота открытой поверхности жидкости над отверстием, v – скорость истечения жидкости из отверстия.

Решение. Сделаем рисунок.

Рассмотрим рис.2. Выделим в жидкости трубку тока с сечениями S1 – площадь открытой поверхности жидкости, S2 – площадь сечения струи из отверстия. Будем считать, что для всех точек каждого из данных сечений скорость жидкости (v) и высота (h) над избранным начальным уровнем одинаковы. Значит к рассматриваемым сечениям применимо уравнение Бернулли:

$$\rho g z+\frac{\rho v^{2}}{2}+p=C_{1}(2.1)$$

где для двух рассматриваемых сечений давления p1=p2=p (p - атмосферное давление), скоростью перемещения открытой поверхности можно пренебречь, так как она мала. Уравнение (2.1) двух сечений трубки тока в таком случае упрощается до равенства:

$$\rho g h_{1}=\frac{\rho v^{2}}{2}+\rho g h_{2} \rightarrow \frac{v^{2}}{2}=g h_{2}-g h_{1} \rightarrow v=\sqrt{2 g h}(2.2)$$

здесь v – скорость, с которой вытекает жидкость из отверстия.

Что требовалось получить.


Читать дальше: Формула ЭДС.