Содержание:

Определение и формула угловой скорости

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота $(\varphi)$ . Часто используют вектор элементарного поворота $\bar{d\varphi}$ , который равен по величине элементарному углу поворота тела $(d \varphi)$ за маленький отрезок времени dt и направлен по мгновенной оси вращения в сторону, откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами. Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой $\omega$ . Математически определение угловой скорости записывают так:

$$\bar{\omega}=\frac{d \bar{\varphi}}{d t}=\dot{\bar{\varphi}}(1)$$

Угловая скорость - векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($\bar{\omega}$ при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

$$\omega=\frac{\varphi}{t}(2)$$

где $(\varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ($\Delta \varphi=2 \pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

$$\omega=\frac{2 \pi}{T}(3)$$

С числом оборотов в единицу времени ($\nu) угловая скорость связана формулой:

$$\omega=2 \pi \nu(4)$$

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.

Формула, связывающая линейную и угловую скорости

Линейная скорость $\bar{v}$ точки А (рис.1), которая расположена на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

$$\bar{v}=[\bar{\omega} \bar{R}](5)$$

где $\bar{R}$ – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки $A (\bar{r})$ (рис.1). Вектор $\bar{r}$ проводят от точки, находящейся на оси вращения к рассматриваемой точке.

Единицы измерения угловой скорости

Основной единицей измерения угловой скорости в системе СИ является: [$\omega$]=рад/с

В СГС: [$\omega$]=рад/с

Примеры решения задач

Пример

Задание. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением $\varphi=2 t-4 t^{3}$, $(\varphi)$ в рад, t в сек. Начало вращения при t=0 c. Положительным считают углы указанные направлением стрелки (рис.2). В каком направлении ( относительно часовой стрелки поворачивается тело) в момент времени t=0,5 c.

Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу:

$$\omega=\frac{d \varphi}{d t}(1.1)$$

Используем заданную в условии задачи функцию $\varphi(t)$, возьмем производную от нее по времени, получим функцию $\omega(t)$:

$$\omega(t)=2-8 t^{2}(1.2)$$

Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c):

$$\omega(t)=2-8(0,5)^{2}=0\left(\frac{r a d}{c}\right)$$

Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.

Слишком сложно?

Формула угловой скорости не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Скорости вращения тела заданы системой уравнений:

$$\left\{\begin{array}{c}\bar{\omega}_{1}=t^{2 \bar{i}} \\ \bar{\omega}_{2}=2 t^{2} \bar{j}\end{array}\right.$$

где $\bar{i}$ и $\bar{j}$ – единичные ортогональные векторы. На какой угол $(\varphi)$ поворачивается тело за время равное 3 с?

Решение. Определим, какова функция, которая связывает модуль скорости вращения тела и время (t) ($\omega(t)$). Так как вектора $\bar{i}$ и $\bar{j}$ перпендикулярны друг другу, значит:

$$\omega=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}=\sqrt{\left(t^{2}\right)^{2}+\left(2 t^{2}\right)^{2}}=t^{2} \sqrt{5}(2.2)$$

Модуль угловой скорости связан с углом поворота как:

$$\omega=\frac{d \varphi}{d t}(2.3)$$

Следовательно, угол поворота найдем как:

$$\varphi=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \omega d t=\int_{0}^{3} t^{2} \sqrt{5} d t=\left.\sqrt{5} \frac{t^{3}}{3}\right|_{0} ^{3} \approx 20(\mathrm{rad})$$

Ответ. $\varphi = 20$ рад.


Читать дальше: Формула удельного веса.