Содержание:

Определение и формула средней скорости

Определение

Средней путевой скоростью материальной точки на отрезке времени $\Delta t$называется скалярная физическая величина, равная отношению длины пути, пройденного точкой к промежутку времени, в течение которого данный путь пройден. Среднюю скорость обозначают:

$$\langle v\rangle, \bar{v}, v_{s r}$$

Математически определение средней скорости можно записать в следующем виде:

$$\langle v\rangle(t+\Delta t)=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}(1)$$

где $\Delta s=s(t+\Delta t)-s(t)$ - длина пути, которую прошла точка за время $\Delta t$.

Если перейти к пределу при $\Delta t \rightarrow 0$ , получим:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle v\rangle=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{d s}{d t}=v(t)(2)$$

средняя путевая скорость в пределе совпадает с величиной (модулем) мгновенной скорости точки в момент времени t.

При равномерном движении:

$$\langle v\rangle=v(3)$$

Вектор средней скорости

Определение

Вектором средней скорости $\langle\vec{v}\rangle$ материальной точки на отрезке времени $\Delta t$называют величину, равную приращению радиус-вектора, который определяет положение данной точки к промежутку времени $\Delta t$:

$$\langle\bar{v}\rangle(t+\Delta t)=\frac{\Delta \bar{r}}{\Delta t}=\frac{\bar{r}(t+\Delta t)-\bar{r}(t)}{\Delta t}(4)$$

где $\Delta \bar{r}$ – приращение радиус-вектора материальной точки.

Вектор средней скорости в пределе при $\Delta t \rightarrow 0$ совпадает с вектором скорости в момент времени t:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{v}\rangle=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{r}}{\Delta t}=\frac{d \bar{r}}{d t}=\bar{v}(t)(5)$$

где $\bar{v}(t)$ – вектор мгновенной скорости токи.

Если точка совершает равномерное и прямолинейное движение, то выполняется равенство:

$$\langle\bar{v}\rangle=\bar{v}(6)$$

Средняя путевая скорость и модуль вектора средней скорости равны $(\langle v\rangle=|\langle\bar{v}\rangle|)$ только при прямолинейном движении. При всех остальных видах движения выполняется неравенство:

$$\langle v\rangle>|\langle\bar{v}\rangle|(7)$$

Единицы измерения

Основной единицей измерения средней скорости в системе СИ является: м/с

В СГС: см/с

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какова средняя скорость материальной точки за время ее движения, если точка прошла первую половину пути имея скорость v1, остальную часть пути данная точка 1/2 времени двигалась со скоростью v2, последний участок пути точка двигалась со скоростью v3.

Решение. В качестве основы для решения задачи формулу:

$$\langle v\rangle=\frac{s}{\Delta t}(1.1)$$

где время потраченное на путь ($\Delta t$) делится на три части:

$$\Delta t=t_{1}+t_{2}+t_{3}(1.2)$$

При этом имеют место следующие соотношения между отрезками пути, скоростью их преодоления и временем:

$$\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2} s=v_{1} t_{1} \rightarrow t_{1}=\frac{s}{2 v_{1}} \\ \frac{1}{2} s=v_{2} t_{2}+v_{3} t_{3} \rightarrow t_{3}=\frac{s}{2\left(v_{2}+v_{3}\right)}(1.3) \\ t_{2}=t_{3}=\frac{1}{2} t\end{array}\right.$$ $$\langle v\rangle=\frac{2 v_{1}\left(v_{2}+v_{3}\right)}{v_{2}+v_{3}+2 v_{1}}$$

Ответ. $\langle v\rangle=\frac{2 v_{1}\left(v_{2}+v_{3}\right)}{v_{2}+v_{3}+2 v_{1}}$

Слишком сложно?

Формула средней скорости не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Какова средняя скорость частицы, движущейся по оси Xза время в течение которого, она пройдет первые s метров пути, если функция скорости задана уравнением: $v=A \sqrt{x}$, где A=const>0. Считать, что x=0 при t=0.

Решение. Сделаем рисунок.

В качестве основы для решения задачи используем формулу для средней путевой скорости, так как движение прямолинейное, то средняя путевая скорость равна модулю вектора средней скорости. По условию задачи точка движется по оси X, тогда:

$$\langle v\rangle(t+\Delta t)=\frac{\Delta x}{\Delta t}(2.1)$$

По условиям x(t=0)=0, среднюю скорость ищем, когда тело находится в точкеx=sследовательно, выражение (2.1) преобразуем к виду:

$$\langle v\rangle=\frac{s}{t}(2.2)$$

Найдем зависимость скорости от времени, исходя из определения мгновенной скоростидля движения точки по оси X:

$$v=\frac{d x}{d t}=A \sqrt{x}(2.3)$$

Выразим из (2.2) x:

$$\frac{d x}{\sqrt{x}}=A d t \rightarrow x=\frac{A^{2} t^{2}}{4}(2.4)$$

Так как движение происходит по оси X, то $x=s=\frac{A^{2} t^{2}}{4}$ . Выразим время, которое точка затратила на путьs :

$$t=\frac{2 \sqrt{s}}{A}(2.5)$$

Подставим время из (2.4) в формулу (2.2):

$$\langle v\rangle=\frac{A}{2} \sqrt{s}$$

Ответ. $\langle v\rangle=\frac{A}{2} \sqrt{s}$


Читать дальше: Формула угловой скорости.