Содержание:

Определение и формула скорости

Определение

Мгновенной скоростью (или чаще просто скоростью) материальной точки называется физическая величина равная первой производной от радиус–вектора $\bar{r}$ точки по времени (t). Обозначают скорость обычно буквой v. Это векторная величина. Математически определение вектора мгновенной скорости записывается как:

$$\bar{v}=\frac{d \bar{r}}{d t}=\dot{\bar{r}}(1)$$

Скорость имеет направление указывающее направление движения материальной точки и лежит на касательной к траектории ее движения. Модуль скорости можно определить как первую производную от длины пути (s) по времени:

$$v=\frac{d s}{d t}=\dot{s}(2)$$

Скорость характеризует быстроту перемещения в направлении движения точки по отношениюк рассматриваемой системе координат.

Скорость в разных системах координат

Проекции скорости на оси декартовой системы координат запишутся как:

$$v_{x}=\dot{x} ; v_{y}=\dot{y} ; v_{z}=\dot{z}(3)$$

Следовательно, вектор скоростив декартовых координатах можно представить:

$$\bar{v}=\dot{x} \bar{i}+\dot{y} \bar{j}+\dot{z} \bar{k}(4)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ единичные орты. При этом модуль вектора скорости находят при помощи формулы:

$$v=\sqrt{(\dot{x})^{2}+(\dot{y})^{2}+(\dot{z})^{2}}(5)$$

В цилиндрических координатах модуль скорости вычисляют при помощи формулы:

$$v=\sqrt{(\dot{\rho})^{2}+(\rho \dot{\varphi})^{2}+(\dot{z})^{2}}(6)$$

в сферической системе координат:

$$v=\sqrt{(r)^{2}+(r \dot{\theta})^{2}+(r \dot{\varphi} \sin \theta)^{2}}(7)$$

Частные случаи формул для вычисления скорости

Если модуль скорости не изменяется во времени, то такое движение называют равномерным (v=const). При равномерном движении скорость можно вычислить, применяя формулу:

$$v=\frac{s}{t}(8)$$

где s– длина пути, t – время, за которое материальная точка преодолела путь s.

При ускоренном движении скорость можно найти как:

$$\bar{v}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \bar{a} d t(9)$$

где $\bar{a}$ – ускорение точки, $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ – отрезок времени, в течение которого рассматривается скорость.

Если движение является равнопеременным, то применяется следующая формула для вычисления скорости:

$$\bar{v}=\bar{v}_{0}+\bar{a} t$$

где $\bar{v}_0$ – начальная скорость движения, $\bar{a} = const$ .

Единицы измерения скорости

Основной единицей измерения скорости в системе СИ является: [v]=м/с2

В СГС: [v]=см/с2

Примеры решения задач

Пример

Задание. Движение материальной точки А задано уравнением: $x=2 t^{2}-4 t^{3}$ . Точка начала свое движение при t0=0 c.Как будет двигаться рассматриваемая точка по отношению к оси X в момент времени t=0,5 с.

Решение. Найдем уравнение, которое будет задавать скорость рассматриваемой материальной точки, для этого от функции x=x(t), которая задана в условиях задачи, возьмем первую производную по времени, получим:

$$v=\frac{d x}{d t}=4 t-12 t^{2}(1.1)$$

Для определения направления движения подставим в полученную нами функцию для скорости v=v(t) в (1.1) указанный в условии момент времении сравним результат с нулем:

$$v(t=0,5)=4 \cdot 0,5-12(0,5)^{2}=-1 \lt 0$$

Так как мы получили, что скорость в указанный момент времени отрицательна, следовательно, материальная точка движется против оси X.

Ответ. Против оси X.

Слишком сложно?

Формула скорости не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Скорость материальной точки является функцией от времени вида:

$$v=10\left(1-\frac{t}{5}\right)$$

где скорость в м/с, время в c. Какова координата точки в момент времени равный 10 с, в какой момент времени точка будет на расстоянии 10 м от начала координат? Считайте, что при t=0 c точка началадвижение из начала координат по оси X.

Решение. Точка движется по оси X, cвязь координаты x и скорости движения определена формулой:

$$x=\int_{0}^{t} v d t=\int_{0}^{t} 10\left(1-\frac{t}{5}\right) d t=10 t-\frac{10 t^{2}}{2 \cdot 5}=10 t-t^{2}(2.1)$$

Для ответа на первый вопрос задачи подставим в выражение (2.1) время t=10 c, имеем:

$$x=10 \cdot 10-(10)^{2}=0(m)$$

Для того чтобы определить в какой момент времени точка будет находиться на расстоянии 10 м от начала координат приравняем выражение (2.1) к 10 и решим, полученное квадратное уравнение:

$$ \begin{array}{c} 10 t-t^{2}=10(2.2) \\ t_{1}=5+\sqrt{15} \approx 8,8(c) ; t_{2}=5-\sqrt{15} \approx 1,13(c) \end{array} $$

Рассмотрим второй вариант нахождения точки на расстоянии 10 м от начала координат, когда x=-10. Решим квадратное уравнение:

$$10 t-t^{2}=-10(2.3)$$

При решении уравнения (2.3) нам подойдет корень равный:

$$t_{3}=5+6=11 (c)$$

Ответ. 1) $x=0 \mathrm{~m}$ 2) $t_{1}=8,8 \mathrm{c}, t_{2}=1,13 c, t_{3}=11 c$


Читать дальше: Формула средней скорости.