Содержание:

Определение и формула пути

Линия, которую описывает материальная точка при своем движении, называется траекторией.

Определение

Длиной пути называют сумму длин всех участков траектории, которые прошла точка за рассматриваемый промежуток времени от t1 до t2.

В том случае, если уравнения движения представлены в прямоугольной декартовой системе координат, то длина пути (s) определяется как:

$$s=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{(\dot{x})^{2}+(\dot{y})^{2}+(\dot{z})^{2}} d t(1)$$

В цилиндрических координатах длина пути может быть выражена как:

$$s=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\left(\frac{d \rho}{d t}\right)^{2}+\left(\rho \frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{(\dot{\rho})^{2}+(\rho \dot{\varphi})^{2}+(\dot{z})^{2}} d t(2)$$

В сферических координатах формулу длины пути запишем:

$$s=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+\left(r \frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+\left(r \sin \theta \frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{(\dot{r})^{2}+(r \dot{\theta})^{2}+(r \varphi \sin \theta)^{2}} d t(3)$$

Местоположение перемещающейся материальной точки в фиксированный момент времени, например t=t1 называют начальным положением. Очень часто полагают t1=0. Длин пути, который прошла материальная точка из начального положения – скалярная функция времени: s=s(t).

Считают, что за промежуток времени $d t \rightarrow 0$ материальная точка проходит путь ds, который называют элементарным. При этом:

$$d s=|d \bar{r}|=v d t$$

где $\bar{r}$ – вектор элементарного перемещения материальной точки, v – модуль скорости ее движения.

Виды движения и формулы длины пути

Длина пути при равномерном движении (v=const) точки равна:

$$s=v\left(t_{2}-t_{1}\right)(5)$$

где t1 – начало отсчета движения, t2 – окончание отсчета. Формула (5) показывает то, что длина пути, который проходит равномерно движущаяся материальная точка – это линейная функция времени.

Если движение не является равномерным, то можно длину пути $\Delta s$ на отрезке времени от $t$ до $t + \Delta t$ находят как:

$$\Delta s=\langle v\rangle \Delta t(6)$$

где $\langle v\rangle$ – средняя путевая скорость. При равномерном движении $\langle v\rangle = v$ .

Путь, который проходит материальная тоска при равнопеременном движении (a=const)вычисляют как:

$$s=v_{0} t+\frac{a t^{2}}{2}(7)$$

где a – постоянное ускорение, v0 – начальная скорость движения.

Единицы измерения пути

Основной единицей измерения пути в системе СИ является: [s]=м

В СГС: [s]=см

Примеры решения задач

Пример

Задание. Траектория движения материальной точки изображена на рис. 1. Каков путь, пройденный точкой, чему равно перемещение, если точка двигалась 1-2-3-4.

Решение. Перемещение – кратчайшее расстояние между точками 1 и 4. Следовательно, перемещение точки равно:

$$6 - 2 = 4 (m)$$

Путь – длина траектории. Рассматривая график на рис.1 получаем, что путь материальной точки равен:

$$8 + 4 + 8 = 20 (m)$$

Ответ. Путь равен 20 м, перемещение равно 4 м.

Слишком сложно?

Формула пути не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Уравнение движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат представлено функцией: x=-0,2t2 (м) . Какой путь пройдет материальная точка за 5 с?

Решение. Так как уравнение движения задано только одной координатой, то в качестве основы для решения задачи примем формулу пути в виде:

$$s=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{(\dot{x})^{2}} d t(2.1)$$

Подставим в (2.1) функцию x=-0,2t2, учтем, что $0 c \leq t \leq 5 c$ имеем:

$$s=\int_{0}^{5} \sqrt{\left(-0,2 \frac{d\left(t^{2}\right)}{d t}\right)^{2}} d t=0,\left.4 \cdot \frac{t^{2}}{2}\right|_{0} ^{5}=5(m)$$

Ответ. s=5м.


Читать дальше: Формула равноускоренного движения.