Формула пути

Содержание:

• Определение и формула пути
• Виды движения и формулы длины пути
• Единицы измерения пути
• Примеры решения задач

Определение и формула пути

Линия, которую описывает материальная точка при своем движении, называется траекторией.

В том случае, если уравнения движения представлены в прямоугольной декартовой системе координат, то длина пути (s) определяется как:

$$s=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{(\dot{x})^{2}+(\dot{y})^{2}+(\dot{z})^{2}} d t(1)$$

В цилиндрических координатах длина пути может быть выражена как:

$$s=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\left(\frac{d \rho}{d t}\right)^{2}+\left(\rho \frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{(\dot{\rho})^{2}+(\rho \dot{\varphi})^{2}+(\dot{z})^{2}} d t(2)$$

В сферических координатах формулу длины пути запишем:

$$s=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+\left(r \frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+\left(r \sin \theta \frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{(\dot{r})^{2}+(r \dot{\theta})^{2}+(r \varphi \sin \theta)^{2}} d t(3)$$

Местоположение перемещающейся материальной точки в фиксированный момент времени, например t=t₁ называют начальным положением. Очень часто полагают t₁=0. Длин пути, который прошла материальная точка из начального положения – скалярная функция времени: s=s(t).

Считают, что за промежуток времени $d t \rightarrow 0$ материальная точка проходит путь ds, который называют элементарным. При этом:

$$d s=|d \bar{r}|=v d t$$

где $\bar{r}$ – вектор элементарного перемещения материальной точки, v – модуль скорости ее движения.

Виды движения и формулы длины пути

Длина пути при равномерном движении (v=const) точки равна:

$$s=v\left(t_{2}-t_{1}\right)(5)$$

где t₁ – начало отсчета движения, t₂ – окончание отсчета. Формула (5) показывает то, что длина пути, который проходит равномерно движущаяся материальная точка – это линейная функция времени.

Если движение не является равномерным, то можно длину пути $\Delta s$ на отрезке времени от $t$ до $t + \Delta t$ находят как:

$$\Delta s=\langle v\rangle \Delta t(6)$$

где $\langle v\rangle$ – средняя путевая скорость. При равномерном движении $\langle v\rangle = v$ .

Путь, который проходит материальная тоска при равнопеременном движении (a=const)вычисляют как:

$$s=v_{0} t+\frac{a t^{2}}{2}(7)$$

где a – постоянное ускорение, v₀ – начальная скорость движения.

Единицы измерения пути

Основной единицей измерения пути в системе СИ является: [s]=м

В СГС: [s]=см

Примеры решения задач

Читать дальше: Формула равноускоренного движения.