Содержание:

Определение и формула напряженности электрического поля

Определение

Вектор напряженности $\bar{E}$ – это силовая характеристика электрического поля. В некоторой точке поля, напряженность равна силе, с которой поле действует на единичный положительный заряд, размещенный в указанной точке, при этом направление силы и напряженности совпадают. Математическое определение напряженности записывается так:

$$\bar{E}=\frac{\bar{F}}{q}$$

где $\bar{F}$ – сила, с которой электрическое поле действует на неподвижный, «пробный», точечный заряд q, который размещают в рассматриваемой точке поля. При этом считают, что «пробный» заряд мал на столько, что не искажает исследуемого поля.

Если поле является электростатическим, то его напряженность от времени не зависит.

Если электрическое поле является однородным, то его напряженность во всех точках поля одинакова.

Графически электрические поля можно изображать при помощи силовых линий. Силовыми линиями (линиями напряженности) называют линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности в этой точке поля.

Принцип суперпозиции напряженностей электрических полей

Если поле создано несколькими электрическими полями, то напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей отдельных полей:

$$\bar{E}=\sum_{i=1}^{n} \bar{E}_{i}(2)$$

Допустим, что поле создается системой точечных зарядов и их распределение непрерывно, тогда результирующая напряженность находится как:

$$\bar{E}=\int d \bar{E}(3)$$

интегрирование в выражении (3) проводят по всей области распределения заряда.

Напряженность поля в диэлектрике

Напряженность поля $\bar{E}$ в диэлектрике равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых свободными зарядами $\bar{E}_0$ и связанными (поляризационными зарядами) $\bar{E}_p$:

$$\bar{E}=\bar{E}_{0}+\bar{E}_{p}(4)$$

В том случае, если вещество, которое окружает свободные заряды однородный и изотропный диэлектрик, то напряженность $\bar{E}$ равна:

$$\bar{E}=\frac{\bar{E}_{0}}{\varepsilon}(5)$$

где $\varepsilon$ – относительная диэлектрическая проницаемость вещества в исследуемой точке поля. Выражение (5) обозначает то, что при заданном распределении зарядов напряженность электростатического поля в однородном изотропном диэлектрике меньше, чем в вакууме в $\varepsilon$ раз.

Напряженность поля точечного заряда

Напряженность поля точечного заряда q равна:

$$\bar{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{3}} \bar{r}(6)$$

где $\varepsilon_{0}=8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м (система СИ) - электрическая постоянная.

Связь напряженности и потенциала

В общем случае напряженность электрического поля связана с потенциалом как:

$$\bar{E}=-\operatorname{grad} \varphi-\frac{\partial \bar{A}}{\partial t}(7)$$

где $\varphi$ – скалярный потенциал, $\bar{a}$ – векторный потенциал.

Для стационарных полей выражение (7) трансформируется в формулу:

$$\bar{E}=-\operatorname{grad} \varphi(8)$$

Единицы измерения напряженности электрического поля

Основной единицей измерения напряженности электрического поля в системе СИ является: [E]=В/м(Н/Кл)

Примеры решения задач

Пример

Задание. Каков модуль вектора напряженности электрического поля $\bar{E}$ в точке, которая определена радиус- вектором $\bar{r}_{2}=7 \bar{i}+3 \bar{j}$ (в метрах), если электрическое поле создает положительный точечный заряд (q=1Кл), который лежит в плоскости XOY и его положение задает радиус вектор $\bar{r}_{1}=\bar{i}-5 \bar{j}$, (в метрах)?

Решение. Модуль напряжения электростатического поля, которое создает точечный заряд, определяется формулой:

$$E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}(1.1)$$

r- расстояние от заряда, создающего поле до точки в которой ищем поле.

$$\bar{r}=\bar{r}_{2}-\bar{r}_{1}=6 \bar{i}-8 \bar{j}(1.2)$$

Из формулы (1.2) следует, что модуль $\bar{r}$ равен:

$$r=|\bar{r}|=\sqrt{36+64}=10(\mathrm{~m})$$

Подставим в (1.1) исходные данные и полученное расстояние r, имеем:

$$E=9 \cdot 10^{9} \frac{1}{100}=9 \cdot 10^{7}\left(\frac{B}{m}\right)$$

Ответ. $E=9 \cdot 10^{7}\left(\frac{B}{m}\right)$

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Запишите выражение для напряженности поля в точке, которая определена радиус – вектором $\bar{r}$, если поле создается зарядом, который распределен по объему V с плотностью $\rho=\rho(r)$ .

Решение. Сделаем рисунок.

Проведем разбиение объема V на малые области с объемами $\Delta V_{i}$ заряды этих объемов $\Delta q_{i}$, тогда напряженность поля точечного заряда в точке А (рис.1) будет равна:

$$\bar{E}_{i A}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\Delta q_{i}}{\left|\bar{r}^{\prime}-\bar{r}_{i}\right|^{3}}\left(\bar{r}^{\prime}-\bar{r}_{i}\right)(2.1)$$

Для того чтобы найти поле, которое создает все тело в точке А, используем принцип суперпозиции:

$$\bar{E}_{A}=\sum_{i=1}^{N} \bar{E}_{i A}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{\Delta q_{i}}{\left|\bar{r}^{\prime}-\bar{r}_{i}\right|^{3}}\left(\bar{r}^{\prime}-\bar{r}_{i}\right)(2.2)$$

где N – число элементарных объемов, на которые разбивается объем V.

Плотность распределения заряда можно выразить как:

$\rho\left(\bar{r}_{i}\right)=\frac{\Delta q_{i}}{\Delta V_{i}}(2.3)$

Из выражения (2.3) получим:

$\Delta q_{i}=\rho\left(\bar{r}_{i}\right) \Delta V_{i}(2.4)$

Подставим выражение для элементарного заряда в формулу (2.2), имеем:

$$\bar{E}_{A}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{\rho\left(\bar{r}_{i}\right) \Delta V_{i}}{\left|\bar{r}^{\prime}-\bar{r}_{i}\right|^{3}}\left(\bar{r}^{\prime}-\bar{r}_{i}\right)(2.5)$$

Так ка распределение зарядов задано непрерывное, то если устремить $\Delta V_i$ к нулю, то можно перейти от суммирования к интегрированию, тогда:

$$\bar{E}_{A}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{\rho(\bar{r})}{\left|\bar{r}^{\prime}-\bar{r}\right|^{3}}\left(\bar{r}^{\prime}-\bar{r}\right) d V$$

Ответ. $\bar{E}_{A}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{\rho(\bar{r})}{\left|\bar{r}^{\prime}-\bar{r}\right|^{3}}\left(\bar{r}^{\prime}-\bar{r}\right) d V$


Читать дальше: Формула пути.