Содержание:

Определение и формула сопротивления

Определение

Скалярную физическую величину, (обычно обозначаемую R) равную:

$$R=\int_{1}^{2} \rho \frac{d l}{S}(1)$$

называют сопротивлением участка цепи между сечениями 1 и 2. В выражении (1) имеем $\rho$ – удельное сопротивление проводника, S – площадь поперечного сечения проводника, dl - элемент длины проводника.

Если проводник является однородным ($\rho$=const) и имеет форму цилиндра (S=const), то формула (1) может быть представлена как:

$$R=\rho \frac{l}{S}(2)$$

где l – длина участка рассматриваемого проводника.

Надо отметить, что удельное сопротивление проводника ($\rho$) – это сопротивление проводника единичной длины с поперечным сечением равным единице. Или иначе говорят, что удельное сопротивление вещества – это сопротивление куба с ребром 1 м изготовленного из рассматриваемого вещества, которое выражено в Ом, при токе, который параллелен ребру куба. Величина обратная удельному сопротивлению:

$$\sigma=\frac{1}{\rho}(3)$$

называется удельной проводимостью. Измеряется удельное сопротивление в системе СИ в [$\rho$]=Ом•м. Эта характеристика проводника зависит от температуры, в простейшем случае эта зависимость может быть линейна:

$$\rho=\rho_{0}(1+\alpha t)(4)$$

где $\rho_{0}$ – удельное сопротивление проводника при температуре равной 0C, t - температура в градусах Цельсия, $\alpha=\frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{d T}$ – температурный коэффициент сопротивления, который показывает относительное приращение сопротивления при увеличении температуры на один градус, $\alpha$ может быть положительным и отрицательным. Для металлов $\alpha$>0.

Вычисление сопротивления при соединении проводников

При последовательном сопротивлении проводников суммарное сопротивление (R) вычисляется как сумма отдельных сопротивлений (Ri):

$$R=\sum_{i=1}^{n} R_{i}(5)$$

Если проводники соединены параллельно, то складываются величины обратные к сопротивлениям:

$$\frac{1}{R}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}}(6)$$

Единицы измерения сопротивления

Основной единицей измерения сопротивления в системе СИ является: [R]=Ом

1 Ом – это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении на его концах 1В устанавливается ток 1 А.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Проводящий шар, имеющий радиус А окружён тонкой проводящей оболочкой радиуса B (рис.1). Пространство между телами заполнено однородным и изотропным веществом, удельное сопротивление которого $\rho$. Каково сопротивление пространства между электродами?

Решение. За основу решения задачи примем формулу:

$$R=\int_{1}^{2} \rho \frac{d l}{S}(1.1)$$

где положим:

$$d l=d r ; S=4 \pi r^{2}(1.2)$$

Интегрирование выражения (1.1) проведем от A до B:

$$R=\int_{A}^{B} \rho \frac{d r}{4 \pi r^{2}}=-\left.\frac{\rho}{4 \pi} \frac{1}{r}\right|_{A} ^{B}=\frac{\rho}{4 \pi} \cdot \frac{B-A}{B \cdot A}$$

Ответ. $R=\frac{\rho}{4 \pi} \cdot \frac{B-A}{B \cdot A}$


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 473 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Какое количество витков проволоки (n) (удельное сопротивление ее равно $\rho$=100 мк Ом•м, диаметр d=1 см) требуется накрутить на фарфоровый цилиндр, имеющий радиус A=1 см, для того чтобы получить сопротивление R=8 Ом?

Решение. Основой для решения задачи будет формула для сопротивления вида:

$$R=\rho \frac{l}{S}(2.1)$$

Длину одного витка проволоки можно вычислить как:

$$l_{1}=2 \pi \cdot A(2.2)$$

Следовательно, длина всей проволоки (l) равна:

$$l=n \cdot 2 \pi \cdot A(2.3)$$

Площадь поперечного сечения проволоки (S):

$$S=\pi \frac{d^{2}}{4}(2.4)$$

Подставим (2.4), (2.3) в выражение (2.1)

$$R=\rho \frac{n \cdot 2 \pi \cdot A}{\pi \frac{d^{2}}{4}}=8 \rho \frac{n \cdot A}{d^{2}}(2.5)$$

Из формулы (2.6) получим искомое число витков:

$$n=\frac{R d^{2}}{8 \rho A}$$

Переведем единицы всех величин из данных задачи в систему СИ, имеем: $\rho$=100 мк Ом•м=100•10-6 Ом•м,d=1 см=10-2 м, A=1 см=10-2 м проведем вычисления:

$$n=\frac{8 \cdot\left(10^{-2}\right)^{2}}{8 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-2}}=100$$

Ответ. n=100


Читать дальше: Формула внутренней энергии.