Как найти периметр эллипса

Формула

Чтобы найти периметр эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, нужно воспользоваться формулой

$$P=4 \cdot \frac{\pi a b+(a-b)}{a+b}$$

здесь $a$ - большая полуось, а $b$ - малая полуось. Число $\pi$ - математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра и равная $\pi \approx 3,14$.

Примеры вычисления периметра эллипса

Пример

Задание. Найти периметр эллипса заданного уравнением $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$

Решение. Выпишем, чему равны коэффициенты $a$ и $b$

$$a^{2}=9 \Rightarrow a=3 ; b^{2}=1 \Rightarrow b=1$$

Тогда искомый периметр

$P=4 \cdot \frac{\pi \cdot 3 \cdot 1+(3-1)}{3+1} \approx 4 \cdot \frac{3,14 \cdot 3+2}{4}=11,42$ (ед.)

Ответ. $P=\approx 11,42$ (ед.)

Пример

Задание. Найти периметр эллипса, если $a=13$ мм , а его фокус имеет координаты $F_{1}(-12 ; 0)$ и $F_{2}(12 ; 0)$.

Решение. Из условия можно сразу определить, что фокальное расстояние $c=12$ мм. Определим, чему равна малая полуось, из соотношения $b^2=a^2-c^2$ получаем:

$b^{2}=13^{2}-12^{2}=169-144=25 \Rightarrow b=5$ (мм)

А тогда искомый периметр

$$P=4 \cdot \frac{\pi \cdot 12 \cdot 5+(12-5)}{12+5}=\frac{4(60 \pi+7)}{17} \approx$$

$\approx \frac{4(60 \cdot 3,14+7)}{17}=45,98$ (мм)

Ответ. $P \approx 45,98$ (мм)

Читать дальше: как найти периметр многоугольника.

Другая информация