Содержание:

Определение СЛАУ

Определение

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

$$\left\{\begin{array}{l} a_{11} \cdot x_{1}+a_{12} \cdot x_{2}+\ldots+a_{1 n} \cdot x_{n}=b_{1} \\ a_{21} \cdot x_{1}+a_{22} \cdot x_{2}+\ldots+a_{2 n} \cdot x_{n}=b_{2} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \\ a_{m 1} \cdot x_{1}+a_{m 2} \cdot x_{2}+\ldots+a_{m n} \cdot x_{n}=b_{m} \end{array}\right.$$

Упорядоченный набор значений $$\left\{x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right\}$$ называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

Пример

Задание. Проверить, является ли набор ${0,3}$ решением системы $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$

Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:

$$\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$$

$$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$

Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.

Ответ. Набор ${0,3}$ является решением системы $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$

Виды систем

Определение

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Слишком сложно?

Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Система $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$ является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение $x=0$, $y=3$

Пример

Система $\left\{\begin{array}{l} 5 x+y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$ является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов ${x,y}$ это не выполняется.

Определение

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Определение

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Пример

$$\left\{\begin{array}{l} x-y+z-4 t=0 \\ 5 x+y+t=0 \end{array}\right.$$

Определение

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Пример

Система $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end{array}\right.$ квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.

Матричная запись систем уравнений

Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:

$$A...X=B$$

где матрица $A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m 1} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right)$ называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; $$X=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)$$ - вектором-столбцом неизвестных, $$B=\left(\begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array}\right)$$ - вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов.

Пример

Задание. Систему $\left\{\begin{array}{l} x-y+z-4 t=0 \\ 5 x+y+t=-11 \end{array}\right.$ записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.

Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A...X=B$ , где матрица системы:

$$A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

вектор-столбец неизвестных:

$$X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ t \end{array}\right)$$

вектор-столбец свободных коэффициентов:

$$B=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -11 \end{array}\right)$$

то есть, запись СЛАУ в матричной форме:

$$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ t \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -11 \end{array}\right)$$

Расширенная матрица системы

Определение

Расширенной матрицей системы $\widetilde{A}=(A \mid B)$ называется матрица, полученная из матрицы системы $A$ , дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов.

Пример

Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4 \\ x_{1}-x_{2}=5 \end{array}\right.$

Решение. Матрица системы $A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)$ , тогда расширенная матрица $\tilde{A}=(A \mid B)=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 0 & 5 \end{array}\right)$

Читать дальше: критерий совместности системы.