Содержание:

Определение и формула длины волны

Определение

Длиной волны называют кратчайшее пространственное расстояние между ее точками, совершающими колебания в одной фазе. Обозначают длину волны, чаще всего буквой $\lambda$ .

Для синусоидальных волн $\lambda$ – это расстояние, на которое волна распространяется за один период (T). Длину волны в этом случае еще называют пространственным периодом. Тогда формулой длины волны можно считать выражение:

$$\lambda=v T=\frac{v}{\nu}=\frac{2 \pi}{k}$$

где v – скорость распространения волны, $\nu=\frac{1}{T}$ – частота колебаний, $k=\frac{\omega}{v}$ – волновое число, $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ – период волны, $\omega$ – циклическая частота волны.

Длина стоячей волны

Длиной стоячей волны($\lambda_{st}$) называют расстояние в пространстве между двумя пучностями (или узлами):

$$\lambda_{s t}=\frac{\pi}{k}=\frac{\lambda}{2}(2)$$

где $\lambda$ – длина бегущей волны. Надо заметить, что расстояние между соседними пучностью и узлом связывает равенство:

$$\frac{\lambda_{s t}}{2}=\frac{\lambda}{4}(3)$$

Длина бегущей волны

В бегущей волне длина волны связана с фазовой скоростью (vph) формулой:

$$\lambda=\frac{v_{p h}}{\nu}(4)$$

Длина бегущей волны

Разность фаз и длина волны

Две точки волны находящиеся на расстоянии $\Delta x$ имеют при колебании разность фаз ($\Delta \varphi$), которая равна:

$$\Delta \varphi=\frac{2 \pi \Delta x}{\lambda}(5)$$

Длина электромагнитной волны

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^{8}$ м/с), следовательно, длина электромагнитной волны в вакууме, может быть рассчитана при помощи формулы:

$$\lambda=c T=\frac{c}{\nu}(6)$$

Длина электромагнитной волны в веществе равна:

$$\lambda=\frac{c}{n \nu}(7)$$

где $n=\sqrt{\varepsilon \mu}$ – показатель преломления вещества, $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества, $\mu$ – магнитная проницаемость вещества.

Отметим, что все рассматриваемые формулы относят к случаю T=const.

Единицы измерения длины волны

Основной единицей измерения длины волны в системе СИ является: [$\lambda$]=м

В СГС: [$\lambda$]=см

Примеры решения задач

Пример

Задание. Каково приращение длины электромагнитной волны, имеющей частоту v=1 МГц при ее переходе в немагнитную среду, которая имеет диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$=2?

Решение. Так как речь в условии задачи идет о немагнитной среде, в которую переходит волна, то считаем магнитную проницаемость вещества равной единице ($\mu$=1).

Длина рассматриваемой нами волны в вакууме равна:

$$\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}(1.1)$$

Длина волны в веществе:

$$\lambda_{2}=\frac{c}{n \nu}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu} \cdot \nu}(1.2)$$

Используя выражения (1.1) и (1.2) найдем изменение длины волны:

$$\Delta \lambda=\lambda_{2}-\lambda_{1}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu} \cdot \nu}-\frac{c}{\nu}=\frac{c}{\nu}\left(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}-1\right)$$

Проведем вычисления, если нам известно помимо данных приведенных в условии задачи, что $c \approx 3 \cdot 10^{8}$ м/с- скорость света в вакууме, и v=1 МГц=106 Гц:

$$\Delta \lambda=\frac{3 \cdot 10^{8}}{10^{6}}\left(\frac{1}{\sqrt{4 \cdot 1}}-1\right)=-1,5 \cdot 10^{2}(\mathrm{~m})$$

Ответ. Длина волны уменьшится на 150 м

Слишком сложно?

Формула длины волны не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Какова длина плоской синусоидальной волны, которая распространяется по оси X. Две точки, которые находятся на оси X расположенные на расстояниях 2 м и 3 м от источника совершают колебания с разностью фаз равной $\Delta \varphi=\frac{3 \pi}{5}$ . Каким будет период колебаний в волне, если ее скорость в данной среде равна v=2м/с?

Решение. Сделаем рисунок.

Основой для решения задачи будет формула:

$$\Delta \varphi=\frac{2 \pi \Delta x}{\lambda}=\frac{2 \pi\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\lambda}(2.1)$$

Выразим из (2.1) искомую длину волны, получим:

$$\lambda=\frac{2 \pi\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\Delta \varphi}(2.2)$$

Период колебаний связан с длиной волны формулой:

$$T=\frac{\lambda}{v}(2.3)$$

C учетом (2.2), имеем:

$$T=\frac{2 \pi\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\Delta \varphi v}$$

Проведем вычисления:

$$ \begin{array}{c} \lambda=\frac{2 \pi(3-2)}{3 \pi} \cdot 5=\frac{10}{3}(m) \\ T=\frac{10}{3 \cdot 2}=1,67(c) \end{array} $$

Ответ. $\lambda \approx 3,3 \mathrm{~m} ; T \approx 1,67 \mathrm{c}$


Читать дальше: Формула количества теплоты.