Содержание:
Определение
Кинетическую энергию тела определяют при помощи работы, которая совершается телом при его торможении от начальной скорости, до скорости, равной нулю.
Кинетическая энергия тела – мера механического движения тела. Она зависит от относительной скорости тел.
Встречаются следующие обозначения кинетической энергии: Ek,Wk,T.
Работу, которую производят над телом (A') можно связать с изменением его кинетической энергии:
$$A^{\prime}=E_{k 2}-E_{k 1}(1)$$Кинетическая энергия материальной точки равна:
$$E_{k}=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{p^{2}}{2 m}=\frac{p v}{2}(2)$$где m – масса материальной точки, p – импульс материальной точки, v – скорость ее движения. Кинетическая энергия является скалярной физической величиной.
Если тело нельзя принять за материальную точку, то его кинетическая энергия рассчитывается как сумма кинетических энергий всех материальных точек, которые составляют исследуемое тело:
$$E_{k}=\frac{1}{2} \int_{m} v^{2} d m=\frac{1}{2} \int_{m} \rho v^{2} d V(3)$$где dm – элементарный участок тела, который можно считать материальной точкой, dV – объем выделенного элементарного участка тела, v – скорость перемещения рассматриваемого элемента, $\rho$ - плотность участка, m–масса всего рассматриваемого тела, V – объем тела.
В том случае, если тело (отличное от материальной точки) движется поступательно, то его кинетическую энергию можно рассчитать, применяя формулу (2), в которой все параметры отнесены к телу в целом.
При вращении тело вокруг неподвижной оси его кинетическую энергию можно вычислить, применяя формулу:
$$E_{k}=\frac{J \omega^{2}}{2}=\frac{\omega^{2}}{2} \int_{m} r^{2} d m=\frac{L^{2}}{2 J}=\frac{L \omega}{2}(4)$$где J – момент инерции тела по отношению к оси вращения, ?–модуль угловой скорости вращения тела, r – расстояние от элементарного участка тела до оси вращения, L – проекция момента импульса вращающегося тела на ось во круг которой идет вращение.
Если твердое тело совершает вращение относительно неподвижной точки (например, точки O), то его кинетическую энергию находят как:
$$E_{k}=\frac{\bar{L} \bar{\omega}}{2}(5)$$ $\bar{L}$ – момент импульса рассматриваемого тела относительно точки О.Основной единицей измерения кинетической энергии (как и любого другого вида энергии) в системе СИ служит:
[Ek]=Дж (джоуль),
в системе СГС –[Ek]= эрг.
При этом: 1 дж= 107 эрг.
Для самого общего случая при расчете кинетической энергии применяют теорему Кенига. В соответствии с которой, кинетическая энергия совокупности материальных точек есть сумма кинетической энергии поступательного перемещения системы со скоростью центра масс (vc) и кинетической энергии (E'k) системы при ее относительном движении к поступательному перемещению системы отсчета. При этом начало системы отсчета связывают с центром масс системы. Математически данную теорему можно записать как:
$$E_{k}=\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i} v_{i}^{2}}{2}=\frac{m v_{c}^{2}}{2}+E_{k}^{\prime}$$где $\mathrm{E}_{k}^{\prime}=\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i} v_{i}^{\prime 2}}{2}, v_{i}^{\prime}=v_{i}-v_{c}, m=\sum_{i=1}^{n} m_{i}$ –суммарная масса системы материальных точек.
Так, если рассматривать твердое тело, то его кинетическую энергию можно представить как:
$$E_{k}=\frac{m v_{c}^{2}}{2}+\frac{J_{c} \omega^{2}}{2}(7)$$где Jc - момент инерции тела по отношению к оси вращения, проходящей через центр масс. В частности, при плоском движении Jc=const.В общем случае, ось (она называется мгновенной) перемещается в теле, тогда момент инерции является переменным во времени.
Пример
Задание. Какова работа, которая производится над телом за t=3 c (с начала отсчета времени), при силовом взаимодействии, если изменение кинетической энергии исследуемого тела задано графиком (рис.1)?
Решение. По определению изменение кинетической энергии равно работе (A’), которая производится над телом при силовом взаимодействии, то есть можно записать, что:
$$A^{\prime}=\Delta E_{k}(1.1)$$Исследуя график, приведенный на рис.1 мы видим, что за время t=3 c кинетическая энергия тела изменяется от 4 Дж до 2 Дж, следовательно:
$A^{\prime}=2-4=-2$ (Дж)
Ответ. A'=-2 Дж.
Пример
Задание. Материальная точка движется по окружности, радиус которой равен R. Кинетическая энергия частицы связана c величиной пути (s), пройденного ей в соответствии с формулой: $E_{k}=\alpha s^{2}(\alpha=$const$)$. Какое уравнение связывает силу (F), действующую на точку и путь s?
Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу, определяющую кинетическую энергию материальной точки:
$$E_{k}=\frac{m v^{2}}{2}(2.1)$$Но по условию задачи:
$$E_{k}=\alpha s^{2}(2.2)$$Следовательно, можно приравнять правые части выражений (2.1) и (2.2), и получить:
$$\frac{m v^{2}}{2}=\alpha s^{2} \rightarrow v^{2}=\frac{2 \alpha s^{2}}{m} \rightarrow v=s \sqrt{\frac{2 \alpha}{m}}(2.3)$$Из второго закона Ньютона нам известно, что сила, действующая на частицу, будет равна:
$$\bar{F}=m \bar{a}(2.4)$$где
$$a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau}^{2}}(2.5)$$При этом нормальное ускорение частицы (an), перемещающейся по окружности найдем как:
$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=\frac{2 \alpha s^{2}}{R m}(2.6)$$Тангенциальную составляющую ускорения (aт)используя определение тангенциального ускорения, определение скорости ($v=\frac{d s}{d t}$) и выражение v(s) (2.3) вычислим как:
$$a_{\tau}=\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d s} \cdot \frac{d s}{d t}=\sqrt{\frac{2 a}{m}} \cdot v=s \frac{2 a}{m}(2.7)$$Используем выражения: (2.5), (2.6), (2.7), окончательно получаем для модуля силы:
$$F=m a=m \sqrt{\frac{4 \alpha^{2} s^{4}}{R^{2} m^{2}}+s^{2} \frac{4 \alpha^{2}}{m^{2}}}=2 \alpha s \sqrt{\frac{s^{2}}{R^{2}}+1}$$Ответ. $F=2 \alpha s \sqrt{\frac{s^{2}}{R^{2}}+1}$
Читать дальше: Формула массы тела.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
