Содержание:

Определение и формула работы

Определение

В том случае, если под воздействием силы происходит изменение модуля скорости движения тела, то говорят о том, что сила совершает работу. Считают, что если скорость увеличивается, то работа является положительной, если скорость уменьшается, то работа, которую совершает сила – отрицательна. Изменение кинетической энергии материальной точки в ходе ее движения между двумя положениями равно работе, которую совершает сила:

$$A=\Delta E_{k}=\frac{m v_{2}^{2}}{2}-\frac{m v_{1}^{2}}{2}(1)$$

Действие силы на материальную точку можно охарактеризовать не только с помощью изменения скорости движения тела, но при помощи величины перемещения, которое совершает рассматриваемое тело под действием силы ($\bar{F}$).

Элементарная работа

Элментарная реабота $(\delta A)$ некоторой силы $\bar{F}$ определяется как скалярное произведение:

$$\delta A=\bar{F} \cdot d \bar{r}=F \cdot d s \cdot \cos \alpha(2)$$

$\bar{r}$ радиус – вектор точки, к которой приложена сила, $\bar{r}$ - элементарное перемещение точки по траектории, $\alpha$ – угол между векторами $d s=|d \bar{r}|$ и $d \bar{r}$. Если $\alpha$ является тупым углом работа меньше нуля, если угол $\alpha$ острый, то работа положительная, при $\alpha=\frac{\pi}{2} \delta A=0$

В декартовых координатах формула (2) имеет вид:

$$\delta A=F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z(3)$$

где Fx,Fy,Fz – проекции вектора $\bar{F}$ на декартовы оси.

При рассмотрении работы силы, приложенной к материальной точке можно использовать формулу:

$$\delta A=\bar{F} \bar{v} d t=\bar{v} d \bar{p}(4)$$

где $\bar{v}$ – скорость материальной точки, $\bar{p}$ – импульс материальной точки.

Если на тело (механическую систему) действуют несколько сил одновременно, то элементарная работа, которую совершают эти силы над системой, равна:

$$\delta A=\sum_{i=1}^{n} \delta A_{i}=\sum_{i=1}^{n} \bar{F}_{i} d \bar{r}_{i}=\sum_{i=1}^{n} \bar{F}_{i} \bar{v}_{i} d t(5)$$

где проводится суммирование элементарных работ всех сил, dt – малый промежуток времени, за который совершается элементарная работа $\delta$ над системой.

Результирующая работа внутренних сил, даже если твердое тело движется, равна нулю.

Пусть твердое тело вращается около неподвижной точки - начала координат (или неподвижной оси, которая проходит через эту точку). В таком случае, элементарная работа всех внешних сил (допустим, что их число равно n), которые действуют на тело, равна:

$$\delta A=\bar{M} \bar{\omega} d t=\bar{M} d \bar{\varphi}(6)$$

где $\bar{M}$ – результирующий момент сил относительно точки вращения, $d \bar{\varphi}$ – вектор элементарного поворота, $\bar{w}$ – мгновенная угловая скорость.

Работа силы на конечном участке траектории

Если сила выполняет работу по перемещению тела на конечном участке траектории его движения, то работа может быть найдена как:

$$A=\int_{0}^{s} \bar{F} \cdot d \bar{r}(7)$$

В том случае, если вектор силы – величина постоянная на всем отрезке перемещения, то:

$$A=F_{\tau} \cdot s$$

где $F_{\tau}=F \cos \alpha$ – проекция силы на касательную к траектории.

Единицы измерения работы

Основной единицей измерения момента работы в системе СИ является: [A]=Дж=Н•м

В СГС: [A]=эрг=дин•см

1Дж=107 эрг

Примеры решения задач

Пример

Задание. Материальная точка движется прямолинейно (рис.1) под воздействием силы, которая задана уравнением: $F=C \sqrt{s}(C=$ const $)$ . Сила направлена по движению материальной точки. Чему равна работа данной силы на отрезке пути от s=0 до s=s0?

Решение. За основу решения задачи примем формулу расчёта работы вида:

$$A=\int_{0}^{s_{0}} F \cos \alpha d s(1.1)$$

где $\alpha = 0$, та как по условию задачи $\bar{F} \uparrow \uparrow \bar{s}$ . Подставим выражение для модуля силы заданное условиями, возьмем интеграл:

$$A=\int_{0}^{s_{0}} F d s=\int_{0}^{s_{0}} C \sqrt{s} d s=\frac{2}{3} C s^{\frac{3}{2}}$$

Ответ. $A=\frac{2}{3} C s^{\frac{3}{2}}$

Слишком сложно?

Формула работы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Материальная точка перемещается по окружности. Ее скорость изменяется в соответствии с выражением: $v \sim t^{2}$ . При этом работа силы, которая действует на точку, пропорциональна времени: $A \sim t^{n}$ . Каково значение n?

Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу:

$$\delta A=\bar{F} \bar{v} d t=m\left(\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}\right) \bar{v} d t=m \bar{a}_{n} \bar{v} d t+m \bar{a}_{\tau} \bar{v} d t(2.1)$$

Зная зависимость скорости от времени найдем связь тангенциальной составляющей ускорения и времени:

$$a_{\tau}=\frac{d v}{d t} \sim t(2.2)$$

Нормальная составляющая ускорения будет иметь вид:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R} \sim t^{4}(2.3)$$

При движении по окружности нормальная составляющая ускорения будет всегда перпендикулярна вектору скорости, следовательно, вклад в произведение силы на скорость будет вносить только тангенциальная составляющая, то есть выражение (2.1) преобразуется к виду:

$$\delta A=m \bar{a}_{\tau} \bar{v} d t=m a_{\tau} v d t(2.5)$$

Выражение для работы найдем как:

$$A=C \int_{0}^{t} t \cdot t^{2} d t \sim t^{4}$$

Ответ. n=4


Читать дальше: Формула силы Ампера.