Работа силы, теория и онлайн калькуляторы
Работа силы
Элементарная работа силы
Пусть на тело действует сила, $\overline{F}$ которая составляет угол $\alpha $ с направлением перемещения ($\overline{s}$). В общем случае траекторию движения тела считаем криволинейной, а силу переменной. Разложим силу на две составляющие (рис.1), тангенциальную ${\overline{F}}_{\tau }$ и нормальную ${\overline{F}}_n$:
\[\overline{F}={\overline{F}}_{\tau }+{\overline{F}}_n\left(1\right).\]
При этом:
\[\left\{ \begin{array}{c}
F_{\tau }=Fcos\ \alpha ;; \\
F_n=F{\sin \alpha .\ } \end{array}
\left(2\right).\right.\]
Нормальная составляющая силы изменяет только направление вектора скорости движения тела, не изменяя ее величины. Нормальная компонента силы работы не совершает. Работу совершает тангенциальная составляющая силы. Физическую величину, равную:
\[\Delta A=F_{\tau }\Delta s{{\rm =F}\Delta {\rm s\ cos} \alpha \ (3)\ }\]
назовем элементарной работой. Величина $\Delta {\rm s}$ - модуль перемещения тела на малом отрезке траектории, который можно считать прямолинейным, силу на этом элементе траектории можно считать постоянной. В предельном случае, при $\Delta {\rm s}\to {\rm 0}$, получаем:
\[dA=Fds{\cos \alpha =\overline{F}d\overline{s}\left(4\right),\ }\]
$\overline{F}$ - мгновенная сила (сила в точке траектории) на элементе $d\overline{s}$.
В зависимости от величины угла $\alpha $ элементарная работа может быть положительной и отрицательной величиной. При $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ $dA>0$, если $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi ,\ $то $dA<0$.
Для вычисления работы на конечном участке пути этот путь делят на малые отрезки, которые можно считать прямолинейными, а силу, действующую на тело постоянной, находят элементарные работы на каждом из этих участков, затем эти работы суммируют.
\[A=\sum\limits_i{\Delta A_i}=\sum\limits_i{{=F\Delta s\ cos \alpha \ \left(5\right)\ }}.\]
Или
\[A=\int\limits^2_1{dA=\int\limits^2_1{\overline{F}d\overline{s}}}\left(6\right).\]
Работа переменной силы на графике ($F_{\tau }(s)$) изображается как площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью абсцисс, сверху графиком силы, справа и лева ординатами крайних точек.
Работа постоянной силы при прямолинейном движении тела
Если тело движется по прямой и на него действует постоянная сила ($\overline{F}$), которая составляет угол $\alpha $ с направлением перемещения тела ($\overline{s}$), то работа($A$) этой силы равна:
\[A=\overline{F}\overline{s}=Fs{\cos \alpha \ \left(5\right).\ }\]
Выражение (5) говорит о том, что при $\alpha <\frac{\pi }{2}$ работа силы больше нуля, в этом случае проекция силы на направление перемещения совпадает с направлением вектора скорости движения тела. При $\alpha =\frac{\pi }{2}$ работа равна нулю.
Работу в этом случае можно изобразить графиком рис.2. Графиком тангенциальной составляющей силы является прямая параллельная оси абсцисс. Тогда работа на участке пути $\Delta s=s_2-s_1$ численно равна площади прямоугольника ABCD.
Работа и кинетическая энергия тела
Элементарная работа равна бесконечно малому приращению кинетической энергии ($dE_k$) тела:
\[dA=dE_k\left(5\right).\]
Работа силы на конечном участке пути равна изменению кинетической энергии тела (разности значений кинетической энергии в конечной и начальной точках траектории):
\[A=E_{k2}-E_{k1}\left(6\right).\]
Формула (6) справедлива при движении тела с любыми скоростями, если энергия покоя его не изменяется.
Работа консервативной силы
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется координатами начала и конца траектории называют консервативными. Примерами консервативных сил являются: силы Кулона, гравитационные силы; силы упругости. Работа консервативной силы по замкнутой траектории равна нулю.
Существуют диссипативные силы, работа которых зависит от формы траектории движения тела, например силы трения. Работа диссипативной силы по замкнутой траектории отлична от нуля. Так, работа силы трения всегда является отрицательной, так как сила направлена против перемещения.
Работа консервативных сила равна изменению потенциальной энергии ($E_p$) системы взаимодействующих тел:
\[{A=E}_{p1}-E_{p2}\left(7\right).\]
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Чему равна работа, которая совершается силой тяги ($\overline{F}$) при подъеме груза массой $m$, если он движется по наклонной плоскости (угол наклона плоскости равен $\alpha \ $к горизонту) совершая перемещение равное $s$ за время $t$? Коэффициент трения тела о плоскость равен $\mu $.\textit{}
Решение. Сделаем рисунок.
Работу по поднятию груза совершает сила тяги, которую будем считать постоянной. Тело движется прямолинейно сила сонаправлена с перемещением, из этих тезисов следует, что работу найдем как:
\[A=Fs\left(1.1\right).\]
Запишем уравнение движения тела:
\[m\overline{g}+\overline{N}+\overline{F}+{\overline{F}}_{tr}=m\overline{a}\left(1.2\right).\]
Проекции уравнения (1.2) на оси X и Y:
\[\left\{ \begin{array}{c}
X:\ -mg{\sin \alpha -F_{tr}+F=ma;;\ } \\
Y:mg{\cos \alpha =N.\ } \end{array}
\left(1.3\right).\right.\]
Силу тяги считаем постоянной, тело движется с постоянным ускорением, его найдем из кинематического уравнения:
\[s=\frac{at^2}{2}\to a=\frac{2s}{t^2}\left(1.4\right).\]
Сила трения равна:
\[F_{tr}=\mu N\left(1.5\right).\]
Из второго уравнения системы (1.3) и формулы (1.5), получим:
\[F_{tr}=\mu mg{cos \alpha \ (1.6).\ }\]
Подставим вместо ускорения правую часть выражения (1.4), вместо силы трения (1.6) в первое уравнение из системы (1.3) получим силу тяги равной:
\[F=m\left(\frac{2s}{t^2}+g{\sin \alpha +\mu \ g{\cos \alpha \ }\ }\right)\left(1.7\right).\]
Силу тяги подставляем в выражение для работы (1.1) имеем:
\[A=m\left(\frac{2s}{t^2}+g{sin \alpha +\mu \ g{cos \alpha \ }\ }\right)s.\]
Ответ. $A=m\left(\frac{2s}{t^2}+g{sin \alpha +\mu \ g{cos \alpha \ }\ }\right)s$
Пример 2
Задание. Какова работа силы, заданной уравнением $F\left(x\right)=Ax+B,$ где $A$ и $B$ постоянные величины, на пути $s$, если тело движется по оси X из начала координат?
Решение. Так как сила не является пистонной величиной, то работу следует искать, используя формулу:
\[A=\int\limits^2_1{\overline{F}d\overline{s}}\left(2.1\right).\]
По условию задачи, движение происходит прямолинейно по оси X из начала координат ($x=0$) в точку $x=s$, сила и перемещение сонаправлены, используя уравнение изменения силы и выше сказанное, формулу (2.1) преобразуем к виду:
\[A=\int\limits^2_1{Fdx}=\int\limits^s_0{(Ax+B)dx}=\frac{{As}^2}{2}+Bs.\]
Ответ. $A=\frac{{As}^2}{2}+Bs$
Читать дальше: равновесие.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 456 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
