Равновесие в физике, теория и онлайн калькуляторы

Равновесие

Равновесие твердых тел изучает статика. Это раздел механики, который является частным случаем динамики.

Условия равновесия твердого тела

Определение

Тело может находиться в состоянии покоя только относительно определенной системы отсчета. В состоянии равновесия скорость и ускорение всех элементов тела в этой системе равняются нулю.

Отталкиваясь от этого тезиса, устанавливается необходимое условие равновесия тел. При этом применяется теорема о движении центра масс. Согласно одному из следствий данной теоремы внутренние силы не могут изменить характер движения центра масс, его движение определяют только внешние силы. В состоянии равновесия ускорения всех элементов тела равны нулю, значит равно нулю ускорение центра масс, которое определяется векторной суммой внешних сил, приложенных к телу. Получается, что в состоянии равновесия сумма внешних сил, приложенных к телу равна нулю.

И так, если равнодействующая внешних сил, действующих на тело равна нулю, то ускорение центра масс ноль (${\overline{a}}_c=0$), что означает постоянство скорости движения центра масс (${\overline{v}}_c=const$). Если начальная скорость центра масс равна нулю, то и далее центр масс будет находиться в состоянии покоя.

Первое условие равновесия тела

Первое условие равновесия тела формулируют так: Равновесие тела требует, чтобы равнодействующая всех сил ($\overline{F}$), которые приложены к телу была равна нулю:

\[\overline{F}=\sum\limits_i{{\overline{F}}_i=0\ при\ {\overline{v}}_c=0\left(1\right),}\]

${\overline{F}}_i$ - вешние силы, приложенные к телу. Если сумма сил равна нулю, равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. Для того чтобы тело находилось в состоянии покоя нужно, чтобы начальная скорость центра масс была равна нулю.

Выполнение первого условия равновесия необходимо, но недостаточно. Если выполняется первое условие, то будет покоиться центра масс, а не обязательно все тело. Например, если тело будет вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс, центр масс покоится, а тело движется. Для выяснения того, что еще необходимо чтобы тело не вращалось, и было в состоянии равновесия, используем основной закон динамики вращательного движения твердого тела:

\[\overline{M}=J\overline{\varepsilon }\left(2\right),\]

где $\overline{M}=\sum\limits_i{\overline{M_i}}$ - сумма моментов внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; $J$ - момент инерции тела по отношению к той же оси.

При условии $\overline{M}$=0, получаем, что угловое ускорение тела равно нулю ($\overline{\varepsilon }=0$), следовательно, угловая скорость тела постоянна ($\omega =const$). Если в начальный момент времени угловая скорость была равна нулю, то и далее тело вращаться не будет.

Второе условие равновесия тела

Равенство нулю моментов внешних сил, приложенных к телу, относительно любой оси при нулевой начальной угловой скорости - второе условие равновесия тела:

\[\overline{M}=\sum\limits_i{\overline{M_i}}\ при\ \omega =0\ \left(3\right).\]

Первое и второе условия (1) и (3) - необходимые и достаточные условия равновесия любого твердого тела.

Виды равновесия

Равновесие тела может быть разным, это зависит от распределения массы тела по объему и положения тела относительно других тел. Выделяют устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.

Равновесие является устойчивым, если после того как тело вывели из равновесия, оно вернется в то же положение равновесия. В устойчивом положении равновесия центр тяжести занимает самое низкое положение в сравнении со всеми возможными соседними положениями тела. Потенциальная энергия тела в положении устойчивого равновесия минимальна. Принцип минимума потенциальной энергии - один из общих принципов устойчивости положения равновесия систем.

Равновесие, которое может быть нарушено небольшим внешним воздействием называют неустойчивым.

Безразличное равновесие сохраняется при любых смещениях и поворотах тела. В случае безразличного равновесия потенциальная энергия тела не изменяется.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Однородный шар массы $m$ подвешен на нерастяжимой нити так, как указано на рис.1. Какова сила натяжения нити, если она составляет угол $\varphi $ с вертикальной стеной, которой касается шар. Силу трения шара о стену не учитывайте.

Равновесие, пример 1

Решение. Определим, какие силы действуют на шар. Это сила тяжести ($m\overline{g}$); сила натяжения нити ($\overline{N}$); сила реакции опоры (${\overline{F}}_r$). Изобразим их на рис.1 (а).

Равновесие, пример 2

Шар находится в состоянии равновесия, для него запишем второй закон Ньютона, учитывая, что ускорение шара равно нулю:

\[m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_r=0\ \left(1.1\right).\]

Проекции уравнения (1.1) на оси X и Y дают уравнения:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:-\ F_r+N{\sin \varphi \ }=0\left(1.2\right), \\ Y:N{\cos \varphi -mg=0\ }\left(1.3\right). \end{array} \right.\]

Из уравнения (1.3) выразим силу реакции нити:

\[N=\frac{mg}{{\cos \varphi \ }}.\]

Ответ. $N=\frac{mg}{{\cos \varphi \ }}$

   
Пример 2

Задание. Определите, какова сила давления ($F$) шара на стену в задаче первого примера?

Решение. Сила давления на стену приложена к стене. Эта сила, в соответствии с третьим законом Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры, действующей на шар ($F_r$):

\[{\overline{F}}_r=-\overline{F}\left(2.1\right).\]

Из формулы (1.2) выразим силу реакции стены:

\[F_r=N{\sin \varphi \ }\left(2.2\right).\]

Подставим в (2.2) найденную в примере 1 силу натяжения нити, получим:

\[F_r=\frac{mg}{{cos \varphi \ }}{\sin \varphi =mg\ tg\ \varphi .\ }\]

Ответ. $F_r=mg\ tg\ \varphi $

   

Читать дальше: равнодействующая сила.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 449 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!