Системой отсчета можно называть любые тела, к которым привязываются процессы, идущие с участием исследуемого объекта. Чаще всего для оценки изменений, происходящих с объектом используется типовая система координат, а также устройство для контроля времени.
Содержание:
- Афинная и декартовая системы координат. Применение системы отсчёта
- Цилиндрическая и сферическая системы координат
Определение 1
Афинная и декартовая системы координат. Применение системы отсчёта
В кинематике используются несколько основных систем координат. Они сходны, также есть формулы, которые их связывают, поэтому при проведении расчётов можно заменять одну систему координат на другую, более удобную. При этом каких-то особенных преимуществ ни одна из них не имеет. Использовать систему координат можно только выбрав предварительно систему или точку отсчёта, связанную с обстановкой окружающей изучаемый процесс.
Определение 2
Пространственная координатная система — объединение структур и элементов, которые позволяют изучать кинематические или механические процессы, выражая положение объектов и его изменение используя числа и символы
Определение 3
Координатами точки называют совокупность числовых значений, которые однозначно задают местонахождение объекта в выбранной системе координат.
Определение 4
Аффинными системами называют такие координатные системы, в которых присутствует центр —точка отсчёта, а также имеются независимые векторы, определяющие положение объекта относительно осей координат.
Однозначно задать местонахождение материальной точки можно с помощью радиус вектора. Он проводится из центра координат к точке. При этом также нетрудно вычислить и перемещение точки. Оно будет рассчитано как разность вектора конечного положения и вектора начального положения. Координаты же определяются как проекции радиус-вектора на оси OX, OY, OZ.
Одна из наиболее популярных систем, используемая как в двумерном, так и в трёхмерном пространстве — декартова. Её основа — центр координат точка О, а также три оси OX, OY, OZ. Система используется для изучения прямолинейных процессов перемещения, перемещения по незамкнутым и нецикличным криволинейным траекториям.
Определение 5
Ортами называют проекции радиус-вектора изучаемой материальной точки на оси системы координат. Они откладываются от точки отсчёта (центра координат) до проекции изучаемой материальной точки на ось: $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$
Определяя таким образом вектор, как сумму орт, помноженных на скалярные координаты, мы получаем не только величину характеризующую положение точки. Первая производная радиус вектора имеет физическое значение, как мгновенная скорость. Используя зависимости координат от времени x=x(t); y=y(t) — для двумерного пространства, а также z=z(t) — для трёхмерного, получим систему, позволяющую описывать кинематику любой материальной точки.
Определение 6
Чтобы единственным возможным образом определить размещение точки пространстве трёх измерений, необходимо использовать взаимосвязь радиус-вектора и величины времени так, чтобы любой величине t (времени) соответствовал один результат вычисления:
$ \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t) = x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k} $
Данное выражение носит название «кинематическое уравнение движения материальных точек». Задано в векторном виде.
Цилиндрическая и сферическая системы координат
Для удобства описания криволинейного движения, применяются различные виды криволинейных систем координат. Они упрощают запись уравнений движения перемещения объектов проще и облегчают вычисления. Чаще всего применяются цилиндрические и сферические координаты.
Определение 7
Чтобы представить цилиндрические координаты, требуется включить в это представление три координатных оси, чтобы с их помощью преобразовать полярные координаты для применения в трех измерениях за счёт прибавления третьего параметра. Данный параметр задает изменение положения точки на оси OZ.
Координаты точки будут задаваться за счёт полярных координат в плоскости OXY. Расположение, не может определяться иначе, чем скалярными величинами ρ, φ и z, где:
ρ – характеристика задающая промежуток между точкой и началом координат оси OZ,
φ – угол между проекцией радиус-вектора на OXY в направлении ОХ в сторону большую нуля,
z – проекция точки на OZ.
Зависимость координат декартовых и цилиндрических задаётся несколькими простыми формулами:
x=ρ·cosφ;
y=ρ·sinφ;
z=z.
Параметры цилиндрической системы:
$ρ=\sqrt{x^2 + y^2}$;
$tgφ=\frac{y}{x} $.
Определение 8
Сферическую систему можно охарактеризовать тремя скалярными элементами, для каждой отдельно рассматриваемой точки они однозначно определяют её место в пространстве. Такими элементами являются: радиус-вектор ρ, два угла: φ – между проекцией радиус-вектора на плоскости OXY вдоль ОХ; и θ – угла радиус-вектора и направлением вдоль OZ.
Существует несколько видов сферических систем. Рассмотрим тип Oρθφ. Чтобы установить её зависимость с декартовой, типа Oxyz, нужно, чтобы выполнялись условия: 0≤ φ≤2π, 0≤ρ≤∞. Взаимосвязи между сферическими и декартовыми координатами определяются формулами:
x=ρ·cosφ·sinθ,
y=ρ·sinφ·sinθ,
z=ρ·cosθ.
Практическое применение находят различные виды систем координат. Во множестве распространены криволинейные системы. Эллиптическая, гиперболическая, параболическая системы позволяют также хорошо задавать место точки в пространстве, как и другие виды координатных систем.
Большое разнообразие систем отсчёта позволяет для каждого изучаемого явления так подобрать комбинацию координат, чтобы сделать вычисления максимально удобными. Определение системы координат проходит с учётом особенностей движения объекта Система должна быть такой, чтобы перемещения определялись наиболее простой системой формул, для лучшего восприятия и анализа.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
