Содержание:

Определение 1

Чтобы охарактеризовать магнитное поле вводится понятие магнитный поток Φ. Это такая величина, которая определяется как суммарное магнитное поле проходящее через элементарную площадку dS. Поток вектора магнитной индукции является скаляром и вычисляется как:

$ Φ = B S cos\alpha = B_n S = \overrightarrow{B} \overrightarrow{S} $,

Где α — угол между нормалью к площадке и направлением вектора магнитной индукции.

$ \overrightarrow{n} $ — нормаль к бесконечно малой площадке dS.

Определить направление индукции магнитного поля можно с помощью правила Ленца, которое гласит что индукционный ток будет двигаться в таком направлении, что возбуждаемое им магнитное поле станет ослаблять магнитное поле вызвавшее его. Существуют также практические методики определения зависимости направления индукции от направления тока. Наиболее известные из них носят названия: «правило левой руки», «правило буравчика», «правило правого винта».

В чем измеряется магнитный поток

На практике исследователям редко удаётся взаимодействовать с однородными магнитными полями. Поэтому, для вычислений, исходную площадь (S), поток через которую подлежит рассмотрению, потребуется разбить на элементарные площади dS. Каждую такую элементарную, бесконечно малую площадь можно рассматривать в качестве плоской площадки. Тогда и магнитный поток мы тоже будем определять через отдельные бесконечно малые элементы dΦ. Запишем для малого потока:

$dΦ = B dS cos\alpha = \overrightarrow{B} d \overrightarrow{S} $

Теперь, чтобы найти поток через всю искомую площадь (S):

$Φ = \int_{S}^{} B dS cos\alpha = \int_{S}^{} \overrightarrow{B} d\overrightarrow{S} $

Получили выражение, которое позволяет вычислить магнитный поток через поверхность любой формы.

В международной системе за единицу измерения потока магнитного поля выбран Вебер (Вб). 1 Вебер — это такой магнитный поток, который продуцирует поле с индукцией в 1 Тесла сквозь площадку с сечением в 1 квадратный метр. $ 1Вб = \frac {1 Тл} { 1 м^{2}} $.

Работа выполняемая силами магнитного поля

Чтобы определить для магнитного поля такое понятие как работа, представим, что в него внесён проводящий контур, по которому идёт электрический ток. Тогда на элемент проводящего контура будет оказывать влияние сила Ампера (F). При смещении проводника на расстояние dx, магнитным полем будет совершена работа δA. Попробуем выразить её через вектор магнитной индукции dΦ:

$\delta A = Fdx = IBldx = IBdS = IdФ$, где

l — длина проводника;

B — вектор магнитной индукции;

I —сила тока.

Другой вариант записи учитывает величину магнитного поля в начале и конце перемещения.

$\delta A = I (Ф_2 - Ф_1)$

$Ф_1$ — поток проходящий через контур п первоначальный момент времени,

$Ф_2$ — поток через контур в конечный момент времени.

Теорема Гаусса

Для магнитного потока сформулирована теорема Гаусса в интегральной форме:

$ \oint \overrightarrow{B} \overrightarrow{dS} = 0 $ — данное выражение означает, что суммарный поток вектора магнитной индукции через какую-либо замкнутую поверхность равен нулю.

Таким образом устанавливается связь между возникновением магнитного поля и электрическим током. В естественной среде не существует магнитных зарядов (аналогичных электрическим). Источником магнитного поля являются изменяющиеся электрические заряды, в том числе электрический ток.

Рассмотрим на примерах взаимодействие магнитного поля и проводников, по которым идёт электрический ток.

Пример 1

Возьмём прямой проводящий провод настолько большой длины, чтобы она не оказывала влияния на условия и могла восприниматься в рамках задачи, как бесконечная. Пусть по проводящему проводу идёт ток — I. Рядом с проводом расположен квадрат, составленный так же из проводящего материала, длина его стороны — а. Рамка лежит в той же плоскости, что и условно бесконечный проводник. Дистанция разделяющая его и рамку составляет — b. По квадрату идёт электрический ток — I’. Все токи являются постоянными. Направление индукции — в сторону наблюдателя.

Рассчитаем величину работы, в случае движения рамки в плоскости в направлении от бесконечного проводника вплоть до полного выведения её из магнитного поля. Во время перемещения, рамка будет проходить через магнитное поле, которое не будет однородным, так как чем дальше от источника, тем меньше индукция.

Используем ранее выведенную формулу для работы, совершаемой силами магнитного поля:

$A= I'(Ф_2 – Ф_1 $ (1), где

I' — сила тока в проводящем квадрате,

$Φ_1$ — поток через квадрат в начальный момент времени, когда дистанция между прямым проводником и квадратным составляет величину b.

$Φ_2 = 0$, так как, согласно условию, квадрат должен быть полностью выведен из поля, поэтому данный элемент можно исключить из формулы, получим:

$ A = - I'(Ф_1 $ (2),

Чтобы записать уравнение определим угол между направлением нормали к плоскости квадрата ($\overrightarrow{n}$) и вектором индукции $\overrightarrow{B}$. Направленность индукции находим с помощью метода правого винта. Тогда мы сможем узнать искомый угол и определить его косинус:

$ cos\alpha = \pi $.

Используя выражение для магнитной индукции $B = \frac{\mu_0}{2\pi}I l$, получаем формулу:

$dФ = -BdS = - B\cdot a\cdot dx= - \frac{\mu_0}{2\pi}I l\frac{dx}{x}$ (3),

Теперь нам нужно вычислить значение для потока в первоначальной точке. Для этого проинтегрируем выражение (3):

$ Ф_1 = \int_{S}^{} - \frac{\mu_0}{2\pi}I\cdot l \cdot \frac{dx}{x} = - \frac{\mu_0}{2\pi}I\cdot l\int_{b}^{b+a} \frac{dx}{x} = - \frac{\mu_0}{2\pi}I\cdot l \cdot \ln \frac{b+a}{b} $ (4).

Определив основную искомую величину, теерь можем подставить её в выражение (2) и получаем, что работа, которую мы хотели вычислить, рассчитывается следующим образом:

$A=\frac{\mu_0}{2\pi}I\cdot I'\cdot l\cdot ln\frac{b+a}{b}$ (5)


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 466 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Используя те же критерии и допущения, что и в предыдущем примере, рассчитаем силу воздействия на рамку. Напомним основные условия: проводящий провод большой длины, принимаемой в задаче как бесконечная, пропуская электрический ток, создаёт магнитное поле. В поле находится проводящий квадрат. Силу воздействия на него и нужно определить.

Запишем двумя способами выражение для элементарной работы при смещении на бесконечно малое расстояние:

$\ delta A = Fdx $ (6).

$\delta A = I'dФ $ (7).

Приравняем правые части обоих уравнений:

$Fdx=I'dФ\rightarrow F = I' \frac{\text{d}Ф}{\text{d}x}$ (8).

Применим уравнение (3) из первого примера, чтобы выразить элементарное приращение потока магнитного поля:

$dФ=\frac{\mu _0}{2\pi}Il\frac{dx}{x}\rightarrow \frac{\text{d}Ф}{\text{d}x} = \frac{\mu _0}{2\pi}\frac{Il}{x}$ (9).

Впишем $ \frac {\text {d} Ф }{ \text{d}х} $ в (8):

$ F = I'\frac {\mu _0} {2 \pi} \frac {Il} {х} $ (10).

На все части проводящего квадрата АВСD действуют силы Ампера. На каждую из сторон своя сила. На AB и CD приходятся силы равные по величине и разные по направлению. Их равнодействующая на рамку равна нулю, поэтому общая сила применяема к квадрату:

$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_{AD}} + \overrightarrow{F_{BC}}$ (11).

С помощью правила Ленца определяем направления сил и получаем:

$ F = F_{AD} - F_{BC} $ (12)

Отдельно определим значение каждой из сил, сначала $ F_{AD} $, по выражению (10), где x=b, получим:

$F_{AD}=I'\frac{\mu _0}{2\pi}\frac{Il}{b}$ (13)

Для $F_{BC} $:

$F_{BC} = I'\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{Il}{b+a}$ (14)

Для нахождения искомой силы:

Суммируя, получаем ответ: $ F = I\cdot I'\frac{\mu_0}{2\pi}(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+a}) $. Из выражения можно сделать вывод, что если проводящий квадрат сохранит ориентацию ,то будет вытеснен из поля