Механика, теория и онлайн калькуляторы
Механика
Механика стала первым разделом физики, который исторически стал развиваться первым. Механику можно назвать наукой о движении и равновесии тел. Если рассматривать понятие «движение», то его следует понимать как любой изменение материи. Но под движением в механике понимают только движение в смысле перемещение тела по отношению к другим телам.
Принципы механики
Первым, принципы на которых основывается механика, сформулировал И. Ньютон в своей работе «Математические начала натуральной философии» (первое издание вышло в 1687 г.) Предшественниками Ньютона, которые занимались некоторыми вопросами статики и фрагментарно динамикой были Архимед, Кеплер, Галилей, Гюйгенс и другие ученые. Но Ньютон - это первый ученый, который смог сформулировать систему принципов механики, которые стали основанием механики как науки.
После работ Ньютона механика интенсивно развивалась. Но до начала XX века ее развитие, в основном, ограничивалось совершенствованием математических методов и применением механических законов в новых областях знаний. В то время не затрагивались основные принципы и представления механики Ньютона.
Механика Ньютона достаточно точно описывает движения макроскопических тел со скоростями много меньшими скорости света в вакууме. Так, применяя принципы механики Ньютона к перемещениям планет, удалось объяснить и предсказать их движения, и это совпало с наблюдениями, что стало убедительным доказательством истинности механики Ньютона.
Однако опыты, которые были поставлены в XX веке, показали, что микромир и движение тел со скоростями близкими к скорости света при помощи механики Ньютона описывать нельзя. На основе теории относительности была создана новая механика, которая может быть применена и к медленному движению и к сколь угодно быстрым перемещениям. Такая механика была названа релятивистской или механикой теории относительности. В соответствии с этой механикой, скорость, которой может достигать тело, имеет предел, равный скорости света в вакууме. Теория относительности определила границы применимости ньютоновой механики со стороны больших скоростей. Следующее ограничение механики Ньютона и релятивистской макроскопической механики было получено при изучении микромира. Экспериментально было показано, что классический макроскопический подход к изучению микромира ограничен в применении. Адекватное описание микромира дает квантовая механика.
Квантовая механика
Квантовая механика вводит принципиальные изменения в представления о движении. В описании движения в квантовой механике отсутствует наглядность. Она использует принципиально новые понятия, которые нельзя свести к привычным представлениям.
Релятивистская и квантовая механики являются более общими теориями по сравнению с классической механикой Ньютона. Релятивистская механика переходит в механику Ньютона, если тела совершают медленные движения (их скорости много меньше скорости света в вакууме). Квантовая механика переходит в классическую механику, если тела имеют достаточно большие массы и перемещаются в плавно изменяющихся силовых полях. Во многих случаях изменения, которые вносят теория относительности и квантовая механика можно свести к небольшим поправкам к механике Ньютона.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Если механика Ньютона имеет существенные ограничения при решении ряда задач, почему до сих пор ее используют? Почему полностью нельзя перейти на использование релятивистской и квантовой механики?
Решение.
- Для многих случаев рассмотрения движения тела теория относительности и квантовая механика вносят малые поправки к классической механике. Эти поправки являются ничтожно малыми в случае движения макроскопического тела со скоростями много меньшими скорости света, что выходит за пределы точности измерений.
- Самые простые задачи, легко решаемые при помощи законов классической механики, приводят к большим математическим сложностям, если использовать методы релятивистской и квантовой механики для точного их решения. Для получения решения более простым способом пришлось бы переходить к приближенным методам, что эквивалентно переходу к ньютоновой механике.
Переходить от механики Ньютона к релятивистской и квантовой механике стоит только тогда, когда она ведет к неправильным или недостаточно точным результатам. Такой задачей, например, является задача о движении электронов в атоме (решается при помощи квантовой механики).
Пример 2
Задание. На полюсе Земли небольшое тело запустили вертикально вверх со скоростью, равной $v$. На какую высоту поднимется тело? Считайте, что Вам известны: радиус Земли ($R_Z$), ускорение свободного падения на поверхности Земли ($g$). Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Сделаем рисунок.
Данную задачу будем решать на основе закона сохранения энергии:
\[E_{p1}+E_{k1}=E_{p2}+E_{k2}\left(2.1\right).\]
Тело в момент броска с поверхности Земли имеет кинетическую энергию ($E_{k1}=\frac{mv^2}{2}$) и потенциальную,
так как взаимодействует с Землей ($E_{p1}=-\gamma \frac{mM}{R_Z},$ где $R_Z$-радиус Земли; M-масса Земли; $\gamma $ - гравитационная постоянная). Когда тело поднимается на максимальную высоту, то его скорость становится равной нулю, и оно имеет только потенциальную энергию, которая равна: $E_{p2}=-\gamma \frac{mM}{R_Z+h}.$ Закон сохранения энергии для нашего движущегося тела будет иметь вид:
\[\frac{mv^2}{2}-\gamma \frac{mM}{R_Z}=-\gamma \frac{mM}{R_Z+h}\ \left(2.2\right).\]
Из уравнения (2.2) выразим искомую высоту:
\[\frac{v^2}{2}-\gamma \frac{M}{R_Z}=-\gamma \frac{M}{R_Z+h}\to \frac{v^2}{2}=\gamma M\left(-\frac{1}{R_Z+h}+\frac{1}{R_Z}\right)=\gamma M\frac{-R_Z+R_Z+h}{R_Z\left(R_Z+h\right)}=\]
\[=\gamma M\frac{h}{R_Z\left(R_Z+h\right)}\to \frac{v^2}{2\gamma M}=\frac{h}{R_Z\left(R_Z+h\right)}\ \left(2.3\right).\]
Ускорение свободного падения около поверхности Земли равно:
\[g=\gamma \frac{M}{R^2_Z}\ \left(2.4\right).\]
Учитывая (2.4) перепишем уравнение (2.3) в виде:
\[\frac{v^2}{2gR^2_Z}=\frac{h}{R_Z\left(R_Z+h\right)}\to \frac{v^2}{2gR_Z}=\frac{h}{\left(R_Z+h\right)}\to +h= \]
\[=h\left(\frac{2gR_Z}{v^2}\right)\to h\left(\frac{2gR_Z}{v^2}-1\right)=R_Z\to \]
\[h=\frac{R_Z}{\frac{2gR_Z}{v^2}-1}.\]
Ответ. $h=\frac{R_Z}{\frac{2gR_Z}{v^2}-1}$
Читать дальше: механическая работа.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 457 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
