Сложение колебаний, теория и онлайн калькуляторы
Сложение колебаний
Тело, совершающее колебания, способно принимать участие в нескольких колебательных процессах одновременно. В таком случае
возникает необходимость выяснить, каким будет результирующее колебание.
Сложение колебаний направленных по одной прямой
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и равной частоты. Тогда смещение ($x$) совершающего колебания тела будет равно сумме смещений $x_1$ и $x_2$, которые представим в виде уравнений:
\[x_1=A_1{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_1\right)\ }\left(1\right),\]
\[x_2=A_2{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_2\right)\ }\left(2\right).\]
Колебания (1) и (2) представим на векторной диаграмме в виде векторов ${\overline{A}}_1$ и ${\overline{A}}_2$ (рис.1).
Результирующее колебание отображает вектор $\overline{A}$, который вращается с той же скоростью (${\omega }_0$),
что векторы его составляющие. Сложением колебание векторов ${\overline{A}}_1$+${\overline{A}}_2$=$\overline{A}$ является гармоническим колебанием:
\[x=A{\cos {(\omega }_0t+\varphi )\ (3)\ }.\]
Из рис.1 видно, что амплитуду результирующего колебания можно найти как:
\[A=\sqrt{A^2_1+A^2_2+2A_1A_2{\cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }\left(4\right),}\]
где $A_1$; $A_2$ - амплитуды сложенных колебаний; ${\varphi }_2;;{\varphi }_1$ - начальные фазы суммирующихся колебаний. При этом начальную фазу полученного колебания ($\varphi $) вычисляют, применяя формулу:
\[tg\ \varphi =\frac{A_1{\sin {\varphi }_1+A_2{sin {\varphi }_2\ }\ }}{A_1{\cos {\varphi }_1+A_2{cos {\varphi }_2\ }\ }}\left(5\right).\]
Из выражения (4) видно, что если ${\varphi }_2-{\varphi }_1=0$, тогда получим колебание, амплитуда которого равна:
\[A=A_1+A_2\left(6\right).\]
При разности фаз равной ${\varphi }_2-{\varphi }_1=\pm \pi $, что означает, что колебания находятся в противофазе, амплитуда сложенных колебания составляет:
\[A=\left|A_1-A_2\right|\left(7\right).\]
Если частоты сложенных гармонических колебаний не равны, то есть векторы ${\overline{A}}_1$и ${\overline{A}}_2$ вращаются с разной скоростью, результирующее колебание гармоническим не будет. Вектор $\overline{A}$ будет пульсировать по величине, и вращаться с переменной скоростью.
Суперпозиция взаимно перпендикулярных колебаний
Пусть у нас происходят два взаимно перпендикулярные гармонические колебания с одной частотой ${\omega }_0$. Колебания происходят вдоль осей X и Y. Пусть начало отсчета времени было таким, что начальная фаза первого колебания равнялась нулю. При этом уравнения колебаний предстанут в виде:
\[x=A_1{\cos \left({\omega }_0t{+\varphi }_1\right)\ }\left(8\right),\]
\[y=A_2{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_2\right)\ }\left(9\right),\]
Уравнения (8) и (9) вместе представляют уравнение траектории движения точки в параметрическом виде. Исключаем время из уравнений, получаем уравнение траектории:
Уравнение траектории точки, которая принимает участие в перпендикулярных колебаниях с амплитудами $A_1$и $A_2$ и начальными фазами ${\varphi }_2и{\varphi }_1$:
\[\frac{x^2}{A^2_1}+\frac{y^2}{A^2_2}-\frac{2xy}{A_1A_2}{\cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }={sin}^2\left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\left(10\right).\]
Уравнение (10) - это уравнение эллипса.
В случае равенства начальных фаз составляющих колебаний уравнение траектории преобразуется к виду:
\[y=\frac{A_2}{A_1}x\ или\ y=-\frac{A_2}{A_1}x\ \left(11\right),\]
что говорит о движении точки по прямой линии. Точка, совершающая гармонические колебания движется по этой прямой, расстояние от начала координат до точки равно:
\[r=\sqrt{x^2+y^2}.\]
Если $\Delta \varphi ={\varphi }_2-{\varphi }_1=\frac{\pi }{2},$ уравнением траектории становится выражение:
\[\frac{x^2}{A^2_1}+\frac{y^2}{A^2_2}=1\left(12\right),\]
что означает, траектория движения эллипс.
Если частоты нормальных друг другу колебаний отличны на очень небольшую величину $\Delta \omega $, то их рассматривают как колебания с равными частотами, но переменной разностью фаз. При этом суммарное движение проходит по медленно изменяющей вид кривой.
Траектории движений суперпозиций взаимно нормальных колебаний с разными частотами представляют собой сложные кривые, которые называют фигурами Лиссажу.
Примеры задач на сложение колебаний
Пример 1
Задание. Какова разность фаз суммируемых колебаний, если складывались два колебания, направленных по одной прямой, обладающих одинаковыми амплитудами и периодами? Сложились они в колебание той же амплитуды.
Решение. В качестве основы для решения задачи используем выражение для вычисления амплитуды складывающихся колебаний, если они направлены вдоль одной прямой:
\[A^2=A^2_1+A^2_2+2A_1A_2{\cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }(1.1)\]
Учитывая условия задачи выражение (1.1) преобразуем к виду:
\[A^2=A^2+A^2+2AA{\cos \left(\Delta \varphi \right)\ }\left(1.2\right)\]
Выразим из (1.2) искомую разность фаз:
\[-\frac{1}{2}={\cos \left(\Delta \varphi \right)\ }\to \Delta \varphi =\frac{4\pi }{3}\]
Изобразим векторную диаграмму колебаний (рис.2).
Ответ. $\Delta \varphi =\frac{4\pi }{3}или\frac{2\pi }{3}$
Пример 2
Задание. Материальная точка совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания: $x=A{\cos \left({\omega }_0t\right)\ },y=B{\cos \left({\omega }_0t\right)\ },$ каким будет уравнение траектории движения точки?
Решение. Из уравнения:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t\right)\ }\ (2.1)\]
выразим ${\cos \left({\omega }_0t\right)\ }$, получим:
\[{\cos \left({\omega }_0t\right)\ }=\frac{x}{A}\left(2.2\right).\]
Подставим правую часть выражения (2.2) вместо ${\cos \left({\omega }_0t\right)\ }$ в формулу:
\[y=B{\cos \left({\omega }_0t\right)\ }\left(2.3\right),\]
имеем:
\[y=\frac{B}{A}x.\]
Уравнением движения точки будет прямая линия.
Ответ. $y=\frac{A_2}{A_1}x$
Читать дальше: тело, брошенное горизонтально.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 456 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
