Динамика прямолинейного движения связанных тел

Динамика прямолинейного движения связанных тел

Основная задача динамики прямолинейного движения связанных тел

Основной задачей динамики при рассмотрении движения связанных тел в разных системах отсчета является объяснение причин, которые определяют характер движения. При этом возникает необходимость понять, при каких условиях системы тел движутся по прямой линии, в каком случае их траекторией является кривая, в результате действия каких причин тела движутся равномерно, ускоренно или замедленно.

При изучении поведения систем связанных тел со скоростями много меньшими скорости света используют классические законы Ньютона:

Если тела не взаимодействуют с другими телами или действие других тел скомпенсировано, то скорость системы не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Система перемещается равномерно и прямолинейно.

Сила ($\overline{F}$), вызывающая ускорение системы тел ($\overline{a}$), в инерциальной системе отсчета пропорциональная массе ($m$) тел, умноженной на его ускорение:

\[\overline{F}=m\overline{a}\left(1\right).\]

Силы взаимодействия тел равны по величине, направлены вдоль одной прямой и имеют противоположные направления.

Если не указано иное, то связи, обычно нити, считают нерастяжимыми и невесомыми. В таком случае при рассмотрении движения связанных тел необходимо помнить, что ускорение движения тел в системе одинаково (результат действия связей). Силу натяжения нитей считают равной по всей длине нити.

В некоторых случаях можно выбирать разные системы координат при рассмотрении движения разных тел системы.

Схема решения типовой задачи при движении связанных тел

  1. Графически изображаем ситуацию, описанную в задаче. Рисуем чертеж, изображаем силы, скорости движения тел, ускорения. Выбираем и изображаем системы отсчета.
  2. Записываем основной закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) в векторной форме, необходимые кинематические уравнения движения, другие необходимые законы и формулы, например, основной закон динамики вращательного движения, формулу силы трения и т.д.
  3. Проектируем векторные уравнения на оси систем координат.
  4. Решаем уравнения.
  5. Проводим необходимые вычисления, предварительно убедившись, что все величины записаны в единой системе единиц.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. На горизонтальной поверхности находится тележка, имеющая массу $M$. К ней привязана невесомая, нерастяжимая нить. Нить перекинута через невесомый блок. Ко второму концу нити прикреплен груз массой $m$ (рис.1). С каким ускорением будет двигаться тележка. Силы трения не учитывать.

Динамика прямолинейного движения связанных тел, пример 1

Решение. Изобразим силы, которые действуют на тележку и груз на рис.1. и ускорения движения тел системы. Помним, что сил трения нет. Отметим, что ускорения связанных тел (тележки и груза) будут одинаковы, кроме этого силы натяжения нити ($\overline{N}$), действующие на тележку и на груз равны по величине (блок невесомый), но имеют разные направления (рис.1). Запишем второй закон Ньютона для тележки:

\[{\overline{F}}_R+M\overline{g}+\overline{N}=M\overline{a}\left(1.1\right).\]

Основной закон динамики для груза имеет вид:

\[m\overline{g}+\overline{N}=m\overline{a}\ \left(1.2\right).\]

Систему отсчета свяжем с Землей, запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:N=Ma \\ Y:Mg=F_R \end{array} \right.\left(1.3\right).\]

В проекциях на эти же оси координат уравнение (1.2) даст одно скалярное уравнение:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:mg-N=ma \\ Y:0 \end{array} \right.\left(1.4\right).\]

Из первого уравнения системы (1.3) и уравнения (1.4) имеем:

\[mg-Ma=ma\ \left(1.5\right).\]

Выразим из (1.5) искомое ускорение:

\[a=\frac{m}{M+m}.\]

Ответ. $a=\frac{m}{M+m}$

Пример 2

Задание. Два груза массами $m_1\ и\ m_2,$ связанные невесомой нитью, скользят по гладкой поверхности. На груз массы $m_1\ $действует с силой F направленной горизонтально (рис.2). Каково ускорение грузов? Какой будет сила натяжения нити, связывающей эти грузы? Силу трения грузов о поверхность не учитывайте. \textit{}

Решение. На рис. 2 изобразим силы, действующие на груз массы $m_1$ (рис.2).

Динамика прямолинейного движения связанных тел, пример 2

В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:

\[m_1\overline{g}+{\overline{N}}_1+\overline{F}+\overline{T}=m_1\overline{a}\left(2.1\right).\]

Систему отсчета свяжем с Землей, выберем направления осей координат (рис.2).

Для решения задачи нам потребуется проекция уравнения (2.1) только на ось Y:

\[F-T=m_1a\ \left(2.2\right).\]

В уравнении (2.2) мы имеем две неизвестные величины: сила натяжения нити ($T$) и ускорение тела ($a$). Для нахождения ускорения с которым движется первое тело и вся система из связанных тел, выясним, какие силы действуют на систему, если оба тела считать одним целым. Тогда на систему массой $m_1+m_2$ действует одна сила $\overline{F}$. В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:

\[\left(m_1+m_2\right)\overline{a}=\overline{F}+\left(m_1+m_2\right)\overline{g}+\overline{N}\left(2.3\right).\]

В проекции на ось Y формулы (2.3) получим:

\[\left(m_1+m_2\right)a=F\ \left(2.4\right).\]

Из (2.4) ускорение тел равно:

\[a=\frac{F}{m_1+m_2}\left(2.5\right).\]

Из (2.2) и (2.5) получим силу натяжения нити равной:

\[T=F\left(1-\frac{m_1}{m_1+m_2}\right).\ \]

Ответ.$\ 1)a=\frac{F}{m_1+m_2}.$ 2) $T=F\left(1-\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)$

Читать дальше: закон всемирного тяготения, сила тяжести.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 460 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!