Помогите решить, интегралы, производные.

[akella]

Помогите пожалуйста решить, интегралы и производные.
1 Задание - производные.
2 Задание - производные по правилу Лопиталя
3 Задание - производная производной
7 Задание - интегралы
Сфотографировал задание.
Отчислят с института в понедельник, если не сдам  Последний шанс, буду благодарен за любую помощь.

[tig81]

Что не получается? Что пытались сделать? Выкладывайте свои наработки. Решать за вас никто не будет, можем только помочь.

P.S. Вот полезный теоретический материал для нахождения производных и дифференцирования:
Таблица производных
Свойства производных
Формулы дифференцирования

Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[akella]

Фото с рисунком. ссылка

Пытался решить
Первое задание найти dy/dx
y=1/(1+cos^2Пx)
y'=(1+cos^2Пx-2cosПx*(-sinПx))/(1+cos^2Пx)^2
Это по формуле которую давали в институте
U/V

[tig81]

Фото с рисунком. ссылка

У меня не открывается

Пытался решить
Первое задание найти dy/dx
y=1/(1+cos^2Пx)
y'=(1+cos^2Пx-2cosПx*(-sinПx))/(1+cos^2Пx)^2
Это по формуле которую давали в институте
U/V

1. Пишите формулы в ТеХе.
2.

y'=(1+cos^2Пx-2cosПx*(-sinПx))/(1+cos^2Пx)^2

Производная от 1 у вас чему равна? Когда брали производную от косинуса в квадрате, еще надо домножить н производную аргумента.

[akella]

Подкорректировал изображение. Теперь должно показывать...
Дальше преподаватель сказал вроде как можно не решать, довести до такого вида. Или производная найдена не верно?

[testtest]

люблю я интегралы, так что тебе достанется мало - сделать одно действие, чтобы их взять: воспользоваться таблицей первообразных

\( \int \frac{1}{x\ln^2 x} dx = \int \frac{1}{\ln^2 x} d\left(\ln x\right) \)

\( \int \frac{3-\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} dx = 3\int \frac{1}{1+x^2} dx - \int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx \)

\( \int\limits_0^1 x\ln x dx = \left.\left(\frac{x^2}{2}\ln x\right)\right|_0^1 - \frac12\int\limits_0^1 x^2d\left(\ln x\right) = \left.\left(\frac{x^2}{2}\ln x\right)\right|_0^1 - \frac12\int\limits_0^1 x dx \)

\( \int\limits_1^2\frac{1}{x^2 + 2x + 10}dx = \int\limits_1^2\frac{1}{x(x + 2) + 10}dx = \int\limits_1^2\frac{1}{(x-1)(x+1) + 10}d(x-1) = \int\limits_2^3\frac{1}{x^2 + 9}dx = \int\limits_2^3\frac{1}{x^2 + 3^2}dx \)

[akella]

люблю я интегралы, так что тебе достанется мало - сделать одно действие, чтобы их взять: воспользоваться таблицей первообразных

\( \int \frac{1}{x\ln^2 x} dx = \int \frac{1}{\ln^2 x} d\left(\ln x\right) \)

\( \int \frac{3-\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} dx = 3\int \frac{1}{1+x^2} dx - \int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx \)

\( \int\limits_0^1 x\ln x dx = \left.\left(\frac{x^2}{2}\ln x\right)\right|_0^1 - \frac12\int\limits_0^1 x^2d\left(\ln x\right) = \left.\left(\frac{x^2}{2}\ln x\right)\right|_0^1 - \frac12\int\limits_0^1 x dx \)

\( \int\limits_1^2\frac{1}{x^2 + 2x + 10}dx = \int\limits_1^2\frac{1}{x(x + 2) + 10}dx = \int\limits_1^2\frac{1}{(x-1)(x+1) + 10}d(x-1) = \int\limits_2^3\frac{1}{x^2 + 9}dx = \int\limits_2^3\frac{1}{x^2 + 3^2}dx \)

Это уже с решением? Просто первый интеграл в одно действие, это так и должно быть? В интегралах не понимаю ничего к сожалению, поэтому этот вопрос может быть глупый...

[tig81]

Подкорректировал изображение. Теперь должно показывать...
Дальше преподаватель сказал вроде как можно не решать, довести до такого вида. Или производная найдена не верно?

Выше мне больше нравилось:
\( (\cos^2{\pi x})'=2\cos{\pi x}\cdot(\cos{\pi x})'=2\cos{\pi x}\cdot(-\sin{\pi x})(\pi x)'=-2\sin{\pi x}\cos{\pi x}\cdot\pi=-\pi\sin{2\pi x} \)

[renuar911]

2) Второй пример легко решить правилом Лопиталя.  Но мне очень понравилось решать такие задачи иными методами, например, эквивалентными заменами:

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{x^2 e^x}{x \sin {x} - x} = \lim \limits_{x \to 0}\frac{x^2 e^x}{-2x \sin^2 {(\pi/4} - x/2)}=-\frac{1}{2}\lim \limits_{x \to 0}\frac{x e^x}{(\pi/4-x/2)^2}= 0 \)

По Лопиталю так:

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{x^2 e^x}{x \sin {x} - x} = \lim \limits_{x \to 0}\frac{2 x e^x}{\sin{x}+x \cos {x} - 1}=\frac {0}{-1}=0 \)

6) \( z=7x^2-6xy+3y^2-4x-4y \)

Берем производные и приравниваем их нулю:

\( \frac{dz}{dx}=14x-6y-4=0 \)

\( \frac{dz}{dy}=-6x+6y-4=0 \)

Решая эту систему, получим точку экстремума:

\(  \left (1;\frac{5}{3} \right ) \)

Значение функции \( z=-\frac{16}{3} \)

Если возьмем соседнюю точку (1;2) то z=-5 > -16/3.

Следовательно, мы получили минимум функции.