Вопросы по интегралам

[Student2011]

В колледже интегралы считал легко, теперь же впадаю в ступор при простейшей дроби. Ни старые конспекты, ни учебник Письменного не помогают. Может кто объяснит, как решать интегралы дробей вроде dt/(5t^2 + 6). Я понял, что это равно натуральному логарифму знаменателя, умноженному на дробь. А вот откуда эта дробь берется? То ли производная знаменателя, то ли связана как-то с коэффициентом при переменной...

[Student2011]

Вопрос 2. Нашел площадь фигуры, ограниченной двумя линиями. Получилось 4. Но площадь ведь измеряется в определенных единицах. К примеру, кв. метрах. Как записать ответ? Просто числом?

[tig81]

В колледже интегралы считал легко, теперь же впадаю в ступор при простейшей дроби. Ни старые конспекты, ни учебник Письменного не помогают. Может кто объяснит, как решать интегралы дробей вроде dt/(5t^2 + 6). Я понял, что это равно натуральному логарифму знаменателя, умноженному на дробь.

Нет, логарифма там не будет, а будет арктангенс. Посмотрите таблицу интегралов, чему равен \( \int\frac{dx}{x^2+a^2} \)?

[Student2011]

Мы решали и через логарифм. вот, к примеру:
3t/(t^2 + 9)=3/2 *ln(t^2 +9)

[Student2011]

если воспользоваться вашим предложением, получается 1/корень(6) * arctg (t/корень(6)), когда t=tg x
как-то не очень смотрится арктангенс тангенса. хорош ли такой ответ?

[Student2011]

Вопрос 2. Нашел площадь фигуры, ограниченной двумя линиями. Получилось 4. Но площадь ведь измеряется в определенных единицах. К примеру, кв. метрах. Как записать ответ? Просто числом?

здесь ссылка нашел ответ: кв. ед. 

[Student2011]

Мы решали и через логарифм. вот, к примеру:
3t/(t^2 + 9)=3/2 *ln(t^2 +9)

вот в таких примерах я не пойму откуда взялась 1/2

[tig81]

Мы решали и через логарифм. вот, к примеру:
3t/(t^2 + 9)=3/2 *ln(t^2 +9)

Но заданный интеграл и тот, что вы сейчас написали отличаются тем, что в числителе первого стоит 1, а в числителе второго t. Поэтому подходы к их решению и результаты конечно отличаются

[tig81]

если воспользоваться вашим предложением, получается 1/корень(6) * arctg (t/корень(6)),

А 5 никак не фигурирует?

когда t=tg x
как-то не очень смотрится арктангенс тангенса. хорош ли такой ответ?

\( arctg(tgx)=x \)

[tig81]

здесь ссылка нашел ответ: кв. ед. 

Как хорошо уметь искать...

[Student2011]

если воспользоваться вашим предложением, получается 1/корень(6) * arctg (t/корень(6)),

А 5 никак не фигурирует?

Должно)
Вот решение полностью. Последнее выражение, как выяснили, неверно. Место него должно быть выражение с арктангенсом:
1/(корень[6]) * 5*arctg([tg x]/[корень(6)])

[Student2011]

здесь ссылка нашел ответ: кв. ед. 

Как хорошо уметь искать...

Иронизируете? 

[tig81]

Иронизируете? 

Ни в коем случае, радуюсь, что хоть кто-то из обратившихся на форум это делает.

[tig81]

Вот решение полностью.

1. Я бы изначально делала также, придя к тому же результату, но за меньшее число шагов:
Выносим в знаменателе косинус за скобки: \( \frac{1}{5\sin^2{x}+6\cos^2{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}(5tg^2{x}+6)} \) и замена \( tg{x}=t \)
2. Откуда опять логарифм? Мы же выяснили, что арктангенс должен получиться (или не выяснили)?
3. Чтобы привести к арктангенсу, возле х надо "убрать" 5

[Student2011]

2. Откуда опять логарифм? Мы же выяснили, что арктангенс должен получиться (или не выяснили)?

это решение до выяснения, поэтому я сразу пояснил: "Последнее выражение, как выяснили, неверно"