WebMath

Решение кубических уравнений онлайн

Кубическое уравнение - уравнение третьего порядка, вида $ ax^3+ bx^2 + cx + d = 0 $, где $ a $ не равно 0. Число $ x $ называется корнем кубического уравнения, если при его подстановке уравнение обращается в верное равенство. Кубическое уравнение всегда имеет 3 корня. Корни могут получиться как вещественными, так и комплексными.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

Содержание:

Решение кубических уравнений онлайн

Введите коэффициенты кубического уравнения и получите корни, дискриминант Кардано и пошаговое решение. Калькулятор обрабатывает случаи с тремя действительными корнями, кратными корнями и комплексными корнями.

Коэффициент при x3x^3. Он не должен быть равен нулю.

Коэффициент при x2x^2.

Коэффициент при xx.

Свободный член кубического уравнения.

Формулы

Формулы Виета-Кардано

Калькулятор приводит уравнение к виду \(t^3+pt+q=0\), после чего подбирает подходящую форму решения.

x=t−b3a,t3+pt+q=0,Δ=(q2)2+(p3)3x=t-\frac{b}{3a},\qquad t^3+pt+q=0,\qquad \Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3

Пояснения

Как решается кубическое уравнение

Для уравнения вида ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0 сначала выполняется нормировка: все коэффициенты делятся на aa.

Затем используется замена x=t−b3ax=t-\frac{b}{3a}, после которой получается приведенное кубическое уравнение t3+pt+q=0t^3+pt+q=0. Дальше применяются формулы Кардано или тригонометрическая форма.

Примеры

Три действительных корня

Классический пример с корнями 1, 2 и 3.

x3−6x2+11x−6=0x^3-6x^2+11x-6=0

Кратные корни

Пример, где один из корней повторяется.

x3−3x+2=0x^3-3x+2=0

Один действительный и два комплексных корня

Пример с комплексно-сопряженной парой.

x3+x+1=0x^3+x+1=0

Правила ввода

Как вводить коэффициенты

  • Вводите только числовые коэффициенты a, b, c и d.

  • Если перед членом уравнения стоит минус, укажите отрицательное значение коэффициента.

  • Коэффициент a не должен быть равен нулю, иначе уравнение перестанет быть кубическим.

Как решается уравнение

  • Сначала уравнение приводится к нормированному виду.

  • Далее используется замена x=t−b3ax=t-\frac{b}{3a}, чтобы перейти к приведенному кубическому уравнению.

  • После этого корни находятся по формулам Кардано или через тригонометрическую форму, если все три корня действительные.

Вопросы и ответы

Кубическое уравнение всегда имеет три корня, если учитывать комплексные числа. Они могут быть либо тремя действительными, либо одним действительным и двумя комплексно-сопряженными.

После замены x=t−b3ax=t-\frac{b}{3a} исходное уравнение приводится к виду t3+pt+q=0t^3+pt+q=0. Именно для этого вида удобно применять формулы Кардано.

Если дискриминант Кардано положителен, уравнение имеет один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня. Калькулятор показывает их в явном виде.

Да. Калькулятор принимает целые числа, отрицательные значения и десятичные дроби, например 0.5, -2.75 или 3.

Для квадратных уравнений используйте калькулятор квадратных уравнений. Для систем уравнений доступны метод Гаусса и метод Крамера.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии