Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Подробное решение.
Данная система уравнений будет иметь единственное решение
только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при $ X_{1 - n} $ не будет равен нулю. Посчитаем этот определитель и убедившись,
что он не равен нулю будем решать дальше. Если он равен нулю, то система не будет иметь однозначного, единственного решения и программа не
будет решать дальше и выдаст сообщение об ошибке. Если главный определитель не равен нулю, то строим матрицу подобную главной, только
добавляем еще один столбец с числами за знаком равенства, в веденной Вами системе уравнений. Теперь, при помощи
элементарных преобразований, приведем левую часть полученной
матрицы к единичному виду. Тоесть мысленной выделим в новой матрице $ (n \times n + 1) $ левую матрицу $ (n \times n) $ и приведем ее к единичному виду
(оставим только числа на главной диагонали, затем сделаем их единицами). Числа правее приведенной к единичному виду матрице и будут решением
Вашей системы уравнений.
Условие
| x
1 | + 2x
2 | - 4x
3 |
=
3
|
| 2x
1 | - 3x
2 | + 3x
3 |
=
-1
|
| 3x
1 | + 2x
2 | - 2x
3 |
=
5
|
Решение
Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:
Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.
Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.
Теперь последовательно, при помощи
элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 × 3)
до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).
Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит
элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит
элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит
элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит
элементарным преобразованиям матрицы.
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся
на главной диагонали, если он не равен 1.
Ответ.
Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.
Решить еще одну систему уравнений методом Гаусса >>
