Производные

Производные высших порядков

Пример 4 из 10

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

Попробовать бесплатно

...2 3 4 5 6...

Задание.

Найти производную -го порядка функции

Решение.

Будем последовательно находить производные первого, второго, третьего и так далее порядков заданной функции для того, чтобы установить закономерность, которую можно будет обобщить на -ую производную.

Производную первого порядка находим как производную частного:

Здесь выражение называется факториалом числа (читается "эн факториал"). Факториал числа равен произведению чисел от одного до , то есть

Производная второго порядка есть первая производная от первой производной, то есть

Производная третьего порядка:

Четвертая производная:

Заметим закономерность: в числителе стоит факториал числа, которое равно порядку производной, а в знаменателе выражение в степени на единицу больше, чем порядок производной, то есть

Ответ.