Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Определение
Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ ( $\log _{a} b$ ) называется такое число $c$, что $b=a^{c}$. Логарифм имеет смысл, если $a>0, a \neq 1, b>0$.
Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10. Обозначается знаком lg, т.е. $\lg x=\log _{10} x$.
Основание десятичного логарифма - число 10.
Иногда используется обозначение $\log x$.
Тогда из определения логарифма можно заключить, что десятичный логарифм $\lg b$ - это решение показательного уравнения $10^{x}=b$.
1 $\lg 1=0$
Десятичный логарифм единицы равен нулю (Заметим, что логарифм по любому основанию от 1 равен 0).
2 $\lg 10=1$
3 $\lg (x y)=\lg x+\lg y$
4 $\lg \frac{x}{y}=\lg x-\lg y$
5 $\lg x^{n}=n \cdot \lg x$
6 График функции $y=\lg x$ :
Пример
Задание. Упростить выражение $\frac{3 \lg 2-\lg 24}{\lg 3+\lg 9}$
Решение. Внесем тройку в числителе под знак логарифма и воспользуемся свойствами суммы и разности логарифмов:
$\frac{3 \lg 2-\lg 24}{\lg 3+\lg 9}=\frac{\lg 2^{3}-\lg 24}{\lg 3+\lg 9}=\frac{\lg \frac{8}{24}}{\lg (3 \cdot 9)}=\frac{\lg \frac{1}{3}}{\lg 27}=\frac{\lg 3^{-1}}{\lg 3^{3}}$
Применим свойство логарифма степени
$\frac{\lg 3^{-1}}{\lg 3^{3}}=\frac{-\lg 3}{3 \lg 3}=-\frac{1}{3}$
Ответ. $\frac{3 \lg 2-\lg 24}{\lg 3+\lg 9}=-\frac{1}{3}$
7 $(\lg x)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 10}$
8 $\int \lg x \mathrm{d} x=x \lg x-\frac{x}{\ln 10}+C$
9 $\lim _{x \rightarrow 0+} \lg x=-\infty$
Читать дальше: логарифмическая функция.
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Свойства логарифмов