Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.
Куб разности
Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Определение
1
$(a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}$
Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство "читается" как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Для проверки данной формулы умножим двучлен $a-b$ на $(a-b)^{2}$: $(a-b)^{3}=(a-b)(a-b)^{2}=(a-b)\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)=$
$=a^{3}-2 a^{2} b+a b^{2}-b a^{2}+2 a b^{2}-b^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}$. Выражение $(a-b)^{2}$ было заменено эквивалентным выражением по формуле "квадрат разности".
Пример
Задание. Раскрыть скобки $(2 x y-1)^{3}$
Решение. Решение проведем в два этапа, первый - возведем в куб по определению, то есть умножим выражение $2 x y-1$ два раза на себя; второй - используя формулу сокращенного умножения "куб разности".
1. По определению:
$(2 x y-1)^{3}=(2 x y-1)(2 x y-1)^{2}=(2 x y-1)\left(4 x^{2} y^{2}-4 x y+1\right)=$
$=8 x^{3} y^{3}-8 x^{2} y^{2}+2 x y-4 x^{2} y^{2}+4 x y-1=8 x^{3} y^{3}-12 x^{2} y^{2}+6 x y-1$
2. Используя формулу сокращенного умножения:
$(2 x y-1)^{3}=(2 x y)^{3}-3 \cdot(2 x y)^{2} \cdot 1+3 \cdot 2 x y \cdot 1^{2}-1^{3}=8 x^{3} y^{3}-12 x^{2} y^{2}+6 x y-1$
Как видно, использование формулы сокращенного умножения упростило решение на несколько шагов и скоратило вероятность ошибки.
Читать следующую тему: формула "сумма кубов".
Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Квадрат суммы