Неравенство с логарифмом, модулем и корнями

[PAN]

Найти сумму всех целых решений неравенства
\( \sqrt{5+2\sqrt{x}} \leq \log_2(|x|-1)+4 \).
ОДЗ такое \( 1<x \leq 82 \), что делать дальше не особо представляю. От чего хотя бы оттолкнуться?

[Dlacier]

Почему ОДЗ такое?
Можно построить эти две функции и посмотреть, что получится.

[renuar911]

Да, именно так и надо:



Желтая  Х неограничена справа. А начало - точно на пересечении двух уравнений.

[PAN]

Или вот ещё такой график. Но кроме графического метода, как можно решить?

[Dlacier]

Вы задание правильно написали? Ваш график отличается от графика, который renuar911 выложил, хотя у меня такой же получился.
У вас трансцендентное уравнение, поэтому как-то иначе его вряд ли удастся решить.

[PAN]

  Руки-крюки, напутал. Вот исправленное.

Найти сумму всех целых решений неравенства
\( \large{\sqrt{5+2\sqrt{x}} \leq \log_\frac{1}{3}(|x|-1)+4} \)

[Dlacier]

Тогда, да, такой график.)
Только вы не ответили, почему ОДЗ такое получилось?

[PAN]

Так как \( \sqrt{x} \) и в логарифме \( |x|-1>0 \), получается \( x>1 \).
Затем \( {\sqrt{5+2\sqrt{x}} \leq \log_{3}\frac{81}{(|x|-1)} \)
Посчитав, что значение под корнем не может быть меньше 0 (точне 2, если брать целые), решил такое неравенство \( 0 \leq \log_{3}\frac{81}{(|x|-1)} \), в котором и получил ОДЗ \( 1<x \leq 82 \). Но если, например, взять 2 вместо 0, получится уже такое \( 1<x \leq 10 \) ОДЗ.

[Dlacier]

решил такое неравенство \( 0 \leq \log_{3}\frac{81}{(|x|-1)} \), в котором и получил ОДЗ \( 1<x \leq 82 \)

Объясните этот переход.

[PAN]

\( 0 \leq \log_{3}\frac{81}{(x-1)} \)
\( 1 \leq \frac{81}{(x-1)} \)
\( 0 \leq \frac{81}{(x-1)}-1 \)
\( 0 \leq \frac{81-x+1}{(x-1)} \)
\( 0 \leq \frac{82-x}{(x-1)} \)
И получил \( 1<x \leq 82 \)
Так достаточно подробно?)

[Dlacier]

Вполне.)

[PAN]

Есть шанс на решение каким-либо способом кроме графического?

[Dlacier]

Не думаю.)