Тригонометрическое неравенство - решала решала, но не до решала

[Наталья95]

sin 36*sin 54 < \( \frac{5(\sqrt{5}-1)}{4pi} \)

[Наталья95]

sin 36*sin 54 расписала как sin18*2 * sin18*3
sin18 =  \( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \)
отсюда получаю
5sin18=\( \frac{5(\sqrt{5}-1)}{4} \)
что не так?

[renuar911]

Численно так: Правая часть неравенства - это примерно 0.492, то есть почти 0.5.

Левая упрощается до \( \frac{1}{2}sin(72^o) \)

А это означает, что угол должен быть около 80 град и более, чтобы было равенство.

Но Вам надо показать аналитически. Продолжайте думать.

[Наталья95]

решение должно быть без вычислительных таблиц...
а где в моём ошибка?

[renuar911]

sin(2x) и sin(3x)  расписываются посложнее. Смотрите тригонометрические формулы.

[Наталья95]

вот теперь огромное вам спасибо))

[Наталья95]

Всё равно запуталась...помогите...поподробнее...

[renuar911]

Я же Вам говорил, что вся левая часть - это \( \frac{1}{2}sin(72^o) \)

А это все равно, что \( \frac{1}{2}cos(18^o) \)

Раз Вы знаете, чему равен синус, то неужели не найдете косинус этого же угла?

Помогу уж: \( cos(18^o)=\sqrt{1-sin^2(18)}=\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2 \sqrt{2}} \)

Тогда нужно сравнить :

\( \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{4 \sqrt{2}} \)  и  \( \frac{5(\sqrt{5}-1)}{4 \pi} \)

Попробуйте сравнить.

Конечно, можно было бы идти по пути раскрытия двойных и тройных углов. Пришли бы к точно такому же результату, но с огромными трудностями и наломав кучу дров.