Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L

[Poonchik]

\( y=-4x^3, \) \( x=0, \) \( y=4 \)

Мое решение:

Vконуса=\( \pi\int_{-1}^{0}(-4x^3)^2dx= \) \( \pi\int_{-1}^{0}16x^6dx= \) \( \frac{16 \pi x^7}{7}\Bigr|_{-1}^{0}= \) \( \frac{16 \pi}{7}\ \)

Vцилиндра=\( \pi\int_{-1}^{0}4^2dx= \) \( 16\pi x\Bigr|_{-1}^{0}=16\pi  \)

V=Vц-Vк=\( 16\pi -\frac{16 \pi}{7}= \) \( \frac{96 \pi}{7} \)

Мне кажется, что мое решение неверно(( подскажите, пожалуйста)

[tig81]

Не совсем поняла, что за конус, что за цилиндр? Покажите рисунок.

[Poonchik]

Вращаясь, выделенная фигура образует цилиндр, внутри которого конус) Я неправильно думаю, да?((

[Dlacier]

Рисунок верен. Но решаете вы неправильно. В данном случае кривая вращается вокруг оси Oy, вы же используете формулу вращения вокруг оси Ox.

Вот например, пишите объем цилиндра

Vцилиндра=\( \pi\int_{-1}^{0}4^2dx= \) \( 16\pi x\Bigr|_{-1}^{0}=16\pi  \)

А по известной формуле \( V_{cilindra}=\pi R^2 h=4 \pi \).
Цилиндр вам здесь не нужен.

Вращаясь, выделенная фигура образует цилиндр, внутри которого конус) Я неправильно думаю, да?((

Нет, там нет конуса. Образуется некая фигура, объем которой нужно найти и для этого достаточно использовать формулу:

\( V=\pi \int_{a}^{b} (f(y))^2 dy \)

[Poonchik]

Тогда, получается так?

\( V=\pi\int_{-1}^{0}(-4x^3)^2dx= \) \( \pi\int_{-1}^{0}16x^6dx= \) \( \frac{16 \pi x^7}{7}\Bigr|_{-1}^{0}= \) \( \frac{16 \pi}{7} \)

[Poonchik]

Или так? Скорее всего, этот вариант верный) )))

\( V=\pi\int_0^4\frac{\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{16}}dy= \) \( \pi\frac{3 \sqrt[3]{y^5}}{5 \sqrt[3]{16}}\Bigr|_0^4= \) \( \frac{12 \pi}{5} \)

[Dlacier]

Или так? Скорее всего, этот вариант верный) )))
\( V=\pi\int_0^4\frac{\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{16}}dy= \) \( \pi\frac{3 \sqrt[3]{y^5}}{5 \sqrt[3]{16}}\Bigr|_0^4= \) \( \frac{12 \pi}{5} \)

Это верно.

[Poonchik]

Огромное спасибо!!!!

[Poonchik]

Что то я опять засомневалась или просто туплю))) В задании у меня фигура вращается вокруг оси Ох, а не Оу. Точно все верно, да? Что то я не допонимаю(( 

[Dlacier]

Действительно, вокруг оси Ox, и Вы вовсе не тупите.) Это я невнимательно прочитала задание.

И у вас все было верно.

\( y=-4x^3, \) \( x=0, \) \( y=4 \)
Vк=\( \pi\int_{-1}^{0}(-4x^3)^2dx= \) \( \pi\int_{-1}^{0}16x^6dx= \) \( \frac{16 \pi x^7}{7}\Bigr|_{-1}^{0}= \) \( \frac{16 \pi}{7}\ \)

Vцилиндра=\( \pi\int_{-1}^{0}4^2dx= \) \( 16\pi x\Bigr|_{-1}^{0}=16\pi  \)

V=Vц-Vк=\( 16\pi -\frac{16 \pi}{7}= \) \( \frac{96 \pi}{7} \)

[Poonchik]

  Спасибо))