Мощность континуума.

[darmenden]

Помогите, пожалуйста, доказать.

Доказать, что любая фигура на плоскости имеет мощность континуума.

[mad_math]

В смысле "любая фигура"? По какому признаку?

[darmenden]

В смысле "любая фигура"? По какому признаку?

Ну в прямом, любая.
Такая вот формулировка задачи

[tig81]

Помогите, пожалуйста, доказать.

Доказать, что любая фигура на плоскости имеет мощность континуума.

хм... спорное предложение...

[mad_math]

Значит вам нужно построить взаимно-однозначное отображение любой фигуры, например, на отрезок или любое другое множество, про которое уже известно, что оно имеет мощность континуума.

[mad_math]

Проще всего сначала отобразить круг на отрезок. А на круг уже вроде бы можно отобразить любую выпуклую (и не только) фигуру.

[darmenden]

Проще всего сначала отобразить круг на отрезок. А на круг уже вроде бы можно отобразить любую выпуклую (и не только) фигуру.

Спасибо.
Можно также воспользоваться теоремой, что Множество точек квадрата имеет мощность континуума.
А потом показать по теореме о мощности промежуточного множества, что любая фигура на плоскости будет эквивалентна квадрату.

[mad_math]

Ну. Для доказательства мощности континуума обычно множества сравнивают с отрезком [0;1].
Мне кажется вариант с кругом и отображением всех остальных фигур на круг более приемлем. Но это Вам решать.