Закон больших чисел

[VasilDA]

Помогите, пожалуйста, разобраться с решением задачи.

Случайная величина XN принимает значения exp (N*ln(0,9)) и exp(N*ln(1,1)) с одинаковыми вероятностями. Можно ли к данной последовательности применить закон больших чисел?

[VasilDA]

Насколько я понимаю, здесь надо проверить, применима ли теорема Чебышева.  Т. е. выполняются ли условия : попарно независимых величин, конечности математического ожидания и равномерно ограниченной дисперсии?

[VasilDA]

Получается..
Случайные величины попарно независимы.
M(X_n)= exp(N*ln(0,9)*1/2 + exp(N*ln(1,1)*1/2 = -0.1432*n+0,12954*n = -0,01366*n => случайная величина не имеет конечного мат. ожидания.
Закон больших числе не выполняется.

[Dev]

Театр абсурда, Вы уж извините.
1) Математическое ожидание не такое. Как это Вы \( (0,9)^n \) превратили в \( -0,2864 n \)?
2) При каком \( n\in\mathbb N \) математическое ожидание бесконечно? При \( n=7 \)? При \( n=119 \)? При \( n=7004 \)? При \( n=1000056 \)?
3) Последний вывод особенно силён: "если селёдка, значит рыба; поэтому, раз не селёдка, то не рыба". Карась молча уходит.
Теорема Чебышёва (как и любая иная) даёт достаточные, но не необходимые условия для выполнения ЗБЧ! Из невыполнения её условий не может следовать невыполнение ЗБЧ.

Боюсь, правда, что составитель задачи именно проверку условий этой теоремы (которую всё же следует сделать правильно, выписав сначала точно все условия) и имел в виду. Боюсь, что иные методы проверки тут будут слишком сложны.

[VasilDA]

Пересчитала, получилось вот так:
1.Случайные величины попарно независимы, первое требование теоремы выполняется.
2. M(X_n)=1/2 (0,9ⁿ+1.1ⁿ) Математическое ожидание конечно, второе требование теоремы выполняется.
3.D(X_n)=M(X²_n)-[M(X_n)]²=1/2*(0,9²ⁿ+1,1²ⁿ)-(1/4(0,9²ⁿ+2*0,9ⁿ*1,1ⁿ+1,1²ⁿ))=1/4*0,9²ⁿ-1/2*0,9ⁿ*1,1ⁿ+1/4*1,1²ⁿ
Получается, дисперсия равномерно неограниченна.третье требование теоремы не выполняется.
Теорема Чебышева неприменима к данной последовательности.
Теперь ничего не напутала?

[Dev]

Нет, теперь всё верно. Если вывода "теорема Чебышёва неприменима" достаточно, то на нём следует и остановиться.

[VasilDA]

Спасибо) Да, скорее всего этого вывода достаточно)