Решение дифура методом вариации постоянной

[A_Bond_007]

Уравнение y'+2y=e^-x

Решение:
1) Считаю что:-2y это a(x), e^-x это b(x)
y'=-2y; dy/dx=-2y; dy/y=-2dx;
ln|y|=-2x+C
y_{однородное}=Ce^-2x

а вот дальше начинаются фантазии:
y=c(x)e^-2x
c'(x)e^-2x-e^-2x*C(x) = e^-x - e(x)e^-2x
c'(x)e^-2x - e^-2xc(x) = e^-x - e(x)e^-2x
c'(x)e^-2x=e^-x-e(x)e^-2x+e^-2xc(x)
c'(x)e^-2x=e^-x
c'(x)=(e^-x)/(e^-2x)=e^-x+2x=e^x
c(x)=int(e^xdx) = e^x + с
y = (e^x + c)e^-2x = e^-x + ce^-2x
y = e^-x + ce^-2x

и решения уравнения не вижу
В чем ошибаюсь, господа эксперты?

[Asix]

Чтот я не понимаю как Вы однородное уравнение подставили, поясните =))

[A_Bond_007]

y'+2y=e^-x
y'=e^-x - 2y, так?
y'=a(x) + b(x)
в нем я выбрал a(x)=2y, b(x)=e^-x
далее ищем y_одн
y'=-2y откуда y_одн=ce^-2x

[Asix]

Если я не ошибаюсь, Вам надо найденное однородное решение подставить в исходное уравнение и в результате найти С(х) и заменить в однородном решении С(х) на найденное =))

[A_Bond_007]

Вы не ошибаетесь и абсолютно правы.
С тем, собственно, я и обращаюсь, что не могу привести в порядок свои мысли.
Не могу понять: как, куда, и что мне подставить. Алгоритм решения напрочь перепутал. У меня целая куча подобных уравнений и ни одно не могу решить. При этом решаю более сложные без особых затруднений.
Т.е. у меня возникла проблема, собственно, в алгоритме решения подобных линейных дифуров первого порядка именно этим методом, методом вариации постоянной.

[Asix]

y_{однородное} = Ce^-2x

y'+2y=e^-x
y = C(x)e^-2x

y' = (C(x)e^-2x)' = C'(x)e^-2x + C(x)(e^-2x)' = C'(x)e^-2x - 2 C(x)e^-2x
2y = 2C(x)e^-2x

А теперь все полученное подставляем в y'+2y=e^-x и находим С(х)

[A_Bond_007]

Подставив и проинтегрировав, получил:

y = c(x)/e^2x - 1/e^x

а что дальше?
(простите за навязчивость)

[Asix]

Вы где-то значек произовдной посеяли + игриков остаться не должно, посмотрите внимательнее =))

[A_Bond_007]

Вполне возможно. Вот посмотрите, пожалуйста:

y' + 2c(x)e^-2x = e^-x;
y' = e^-x - 2c(x)e^-2x;
dy = (e^-x - 2c(x)e^-2x)dx;
интегрируем
y=1/(-e^xln e) - 2c(x)/(2e^2x ln e) = -1/(e^x) + 2c(x)/2e^2x = c(x)/e^2x - 1/e^x

Где я ошибся?

[Asix]

Я же Вам написал чему равен y', его тоже надо подставить и затем интегрируя найти С(х) =))

[A_Bond_007]

У меня щас мозги ... убегут.
Подставляю и получаю:
-2с(x)e^-2x + 2с(x)e^-2x = e^-x
e^-x = 0 !!!

[A_Bond_007]

Вот оно! Взгляните, пожалуйста, это будет правильным ответом?

y = e^-x + ce^-2x

[Asix]

Подставьте и проверьте =))
Я не могу без решения проверить ответ =))

[lu]

проверка
 y'+2y=e^-x
y = e^-x + ce^-2x
y' = -e^-x -2 ce^-2x

 y'+2y=-e^-x -2 ce^-2x+2e^-x + 2ce^-2x=e^-x ≡ e^-x

[Asix]

Проверка сошлась, значит все ок =))