ЛОУ 4-го порядка

[DeadChild]

Здравствуйте.
Простое на первый взгляд дифференциальное уравнение вызвало затруднения.
\( y^{IV}+y=0 \)
Характер. ур-ие: \( \lambda^4+1=0 \)
\( \lambda^4=-1 \)
\( \lambda=\sqrt[4]{-1} \)
Говорят, надо использовать формулу Муавра. Знаю только, что она для комплексных чисел применяется. Что делать?

[renuar911]

Сразу ответ запишите - он верный:

\( y=\bigg [ C_1 e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}+C_2 e^{- \frac{x}{\sqrt{2}}}\bigg ]\cdot cos \bigg ( \frac {x}{\sqrt{2}}\bigg ) +\bigg [ C_3 e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}}+C_4 e^{ \frac{x}{\sqrt{2}}}\bigg ]\cdot sin \bigg ( \frac {x}{\sqrt{2}}\bigg ) \)

[DeadChild]

Нет, так не пойдет. Это задание было у меня на контрольной. Мне интересно как оно решается. И как применить формулу. Какая формула используется?

[tig81]

Говорят, надо использовать формулу Муавра. Знаю только, что она для комплексных чисел применяется. Что делать?

Ну что делать, применять, т.е. извлечь корень четвертой степени из -1.

[DeadChild]

Для этого тоже какая-то формула есть? Просто я сначала думала, может как-то возможно извлечь корень из -1, а потом еще раз. Или это не правильно будет?

[tig81]

Для этого тоже какая-то формула есть?

надо использовать формулу Муавра.

Просто я сначала думала, может как-то возможно извлечь корень из -1, а потом еще раз. Или это не правильно будет?

Правильно, а смысл? Все равно формула Муавра.

[renuar911]

Давайте я подскажу. Уравнение  \( \lambda^4+1=0 \)
имеет 4 корня:

\( \lambda_{1,2}=\pm (-1)^{\frac{1}{4}} \)

\( \lambda_{3,4}=\pm (-1)^{\frac{3}{4}} \)

При этом:

\( (-1)^{\frac{1}{4}}=\frac{1+i}{\sqrt{2}} \)

\( (-1)^{\frac{3}{4}}=\frac{-1+i}{\sqrt{2}} \)

[DeadChild]

Ну, тут корень 4ой степени из -1, а если сначала корень из -1, то это i. И это уже комплексное число. А потом из него корень по формуле \( r^{\frac{1}{n}}(cos\frac{\phi +2\pi k}{n}+isin\frac{\phi +2\pi k}{n}) \)

[DeadChild]

А \( \phi \) тут будет \( \frac{\pi}{2} \)?

[Dimka1]

-1 запишите в комплексной тригонометрической форме

[DeadChild]

\( -1=1(cos\pi +isin\pi) \) и что с этим?

[Dimka1]

\( -1=1(cos\pi +isin\pi) \) и что с этим?

Правильно.

Теперь (-1)^(1/4) как будет выглядеть по ф-ле Муавра?

[DeadChild]

\( 1^{\frac{1}{4}}(cos\frac{\pi+2\pi k}{4}+isin\frac{\pi+2\pi k}{4}) \)
Угол \( \pi \) или \( \frac{\pi}{2} \)?

[Dimka1]

\( 1^{\frac{1}{4}}(cos\frac{\pi+2\pi k}{4}+isin\frac{\pi+2\pi k}{4}) \)

т.к. из -1 извлекаем корень 4 степени, сл-но, в по Вашей формуле можно найти 4 корня, подставив вместо k его четыри первых значения (k=0,1,2,3 )

Подставляйте в Вашу формулу последовательно k=0,1,2,3 и получайте 4 корня.
Что получилось?

[DeadChild]

\( k=0: \) \( \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( k=1: \) \( -\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( k=2: \) \( -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( k=3: \) \( \frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Может в знаках ошибка есть...