Ряд Маклорена.

[vlad8640]

Здравствуйте.
Требуется разложить функцию в ряд Маклорена:


Как известно, ряд Маклорена есть частный случай ряда Тейлора:

где при a=0 получаем ряд Маклорена.

То есть для нахождения ряда требуется вычислить некоторое количество производных и найти закономерность для членов ряда.

Для вычисления члена ряда нахожу несколько производных:










Никакой закономерности, позволяющей вывести формулу для k-го члена ряда Маклорена для этой функции, вывести не могу. Помогите пожалуйста.

[everest]

может геометрическая прогрессия?

[tig81]

Как выглядит ряд Маклорена для функции \( (1+x)^m \)?

[vlad8640]

Как выглядит ряд Маклорена для функции \( (1+x)^m \)?

И причём он здесь?

[vlad8640]

Сделал разложение функции \( \frac{1}{1+x^2} \)




Короче говоря, ряд Маклорена для этой функции получится такой:

\( f(x)=1 + \left{2!}\cdot{x^2}\right \) + \( \left{4!}\cdot{x^4}\right \) + \( \left{6!}\cdot{x^6}\right \) + \( \left{8!}\cdot{x^8}\right \) + ...

Искомое разложение будет выглядеть примерно так же.
Это точно не геометрическая прогрессия.

Чтобы найти искомый ряд, во-первых выполняем замену \( x={\sqrt3}\cdot{z} \)
Получаем ряд:
\( f(z)=1 \) + \( \left{2!}\cdot{z^2}\right \) + \( \left{4!}\cdot{z^4}\right \) + \( \left{6!}\cdot{z^6}\right \) + \( \left{8!}\cdot{z^8}\right \) + ... \( =1 + \left{2!}\cdot{3}\cdot{x^2}\right \) + \( \left{4!}\cdot{3}\cdot{x^4}\right \) + \( \left{6!}\cdot{3}\cdot{x^6}\right \)  + \( \left{8!}\cdot{3}\cdot{x^8}\right \) + ...

Таким образом, получаем разложение в ряд Тейлора функции \( \frac{1}{1-3x^2} \)
Чтобы найти разложение искомой функции, просто умножаем члены последнего ряда на 2.

[vlad8640]

Ой, двойка мне.
Забыл поделить каждый n-й член уравнения на n!