Содержание:

Формулировка теоремы о базисном миноре

Теорема

Столбцы матрицы $A$, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы $A$ линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора.

В матрице $A$ размеров $m \times n$ минор $r$-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры $(r + 1)$-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы $A$ линейно выражаются через $r$ столбцов $A_{i 1}, A_{i 2}, \ldots, A_{i r}$, которые образуют линейно независимую систему, то ранг матрицы $\operatorname{rang} A=r$ .

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти все базисные миноры и ранг матрицы:

$$A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка будет нулевой. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, который будет состоять из элементов первых двух строк матрицы. Перебираем всевозможные миноры второго порядка, состоящие из элементов указанных строк:

$$M_{12}^{12}=\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right|=1 \cdot 2-0 \cdot 2=2-0=2 \neq 0$$ $$M_{13}^{12}=\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right|=1 \cdot 2-0 \cdot 2=2-0=2 \neq 0$$ $$M_{14}^{12}=\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right|=1 \cdot 3-0 \cdot 0=3-0=3 \neq 0$$ $$M_{23}^{12}=\left|\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right|=0$$ $$M_{24}^{12}=\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 2 & 3\end{array}\right|=2 \cdot 3-2 \cdot 0=6-0=6 \neq 0$$ $$M_{34}^{12}=\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 2 & 3\end{array}\right|=2 \cdot 3-2 \cdot 0=6-0=6 \neq 0$$

Таким образом, пять минор являются ненулевыми и каждый из них - базисный. Следовательно, так как порядок базисных миноров равен двум, то и ранг матрицы равен двум: $\operatorname{rang} A=2$ .

Ответ. Базисные миноры $M_{12}^{12}, M_{13}^{12}, M_{14}^{12}, M_{24}^{12}, M_{34}^{12} ;$ rang $A=2$ .

Слишком сложно?

Теорема о базисном миноре не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание