Теорема о базисном миноре

Задание. Найти все базисные миноры и ранг матрицы:

$$A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка будет нулевой. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, который будет состоять из элементов первых двух строк матрицы. Перебираем всевозможные миноры второго порядка, состоящие из элементов указанных строк:

$$M_{12}^{12}=\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right|=1 \cdot 2-0 \cdot 2=2-0=2 \neq 0$$ $$M_{13}^{12}=\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right|=1 \cdot 2-0 \cdot 2=2-0=2 \neq 0$$ $$M_{14}^{12}=\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right|=1 \cdot 3-0 \cdot 0=3-0=3 \neq 0$$ $$M_{23}^{12}=\left|\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right|=0$$ $$M_{24}^{12}=\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 2 & 3\end{array}\right|=2 \cdot 3-2 \cdot 0=6-0=6 \neq 0$$ $$M_{34}^{12}=\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 2 & 3\end{array}\right|=2 \cdot 3-2 \cdot 0=6-0=6 \neq 0$$

Таким образом, пять минор являются ненулевыми и каждый из них - базисный. Следовательно, так как порядок базисных миноров равен двум, то и ранг матрицы равен двум: $\operatorname{rang} A=2$ .

Ответ. Базисные миноры $M_{12}^{12}, M_{13}^{12}, M_{14}^{12}, M_{24}^{12}, M_{34}^{12} ;$ rang $A=2$ .