Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Производная линейной функции равна константе, стоящей возле переменной $x$.
Согласно правилам дифференцирования, константу можно выносить за знак производной, то есть
$$(c x)^{\prime}=c \cdot(x)^{\prime}$$По таблице производных производная независимой переменной $x$ равна единице:
$$(c x)^{\prime}=c \cdot(x)^{\prime}=c \cdot 1=c$$В более общем случае, когда имеем выражение $cx+b$, вместо просто $cx$, поступаем следующим образом. Как известно, согласно свойствам производной, производная от суммы равна сумме производных, поэтому
$$(c x+b)^{\prime}=(c x)^{\prime}+(b)^{\prime}$$В первом слагаемом выносим константу за знак производной, и производная от константы равна нулю:
$$(c x+b)^{\prime}=c \cdot(x)^{\prime}+0$$Итак, окончательно имеем, что
$$(c x+b)^{\prime}=c$$Пример
Задание. Найти производную функции $y(x)=\sqrt{3} x$
Решение. Искомая производная равна:
$$y^{\prime}(x)=(\sqrt{3} x)^{\prime}$$Константу - число $\sqrt{3}$ - выносим за знак производной:
$$y^{\prime}(x)=\sqrt{3} \cdot(x)^{\prime}$$Согласно таблице производных, производная от независимой переменной $x$ равна 1, тогда получаем:
$$y^{\prime}(x)=\sqrt{3} \cdot 1=\sqrt{3}$$Ответ. $y^{\prime}(x)=\sqrt{3}$
Пример
Задание. Вычислить производную функции $y(x)=3x-7$
Решение. Искомая производная
$$y^{\prime}(x)=(3 x-7)^{\prime}$$По свойству производных, производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то есть:
$$y^{\prime}(x)=(3 x)^{\prime}-(7)^{\prime}$$В слагаемом $3x$ константу 3 вынесем за знак производной, а производная от числа (в нашем случае это производная $(7)^{\prime}$ ) равна нулю, то есть получаем, что
$$y^{\prime}(x)=3 \cdot(x)^{\prime}-0=3 \cdot(x)^{\prime}$$Производная от $x$ равна единице, тогда
$$y^{\prime}(x)=3 \cdot(x)^{\prime}-0=3 \cdot(x)^{\prime}$$Ответ. $y^{\prime}(x)=3$
Читать дальше: производная степенной функции (x^n)'.
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Производная степенной функции