2 интеграла, диф.уравнение и еще немного)

[sergeycoins]

Здравствуйте помогите пожалуйста решить вот такое диф уравнение y''' sin^4(x) = sin(2x)

вот такой интеграл - интеграл от ( е^(2x) * sinx dx

и если можно вот такие уравнения  1/2 arctg(u/2) = ln(x) - нужно найти u

2^(y+1)  * x  +  2^(y+1) = 2^(x+1)  * y  +  2^(x+1)

[Данила]

дифур.
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
sin⁴(x) вправо, и далее просто 3 раза проинтегрировать

интеграл
тут насколько помню берете по частям пока не надоесть и записываете рекуррентную функцию

в 3ьем уж элементарные преобразования

в 4ом,делайте так,чтобы в степени были x*y . и потом сократите на 2^xy

[sergeycoins]

первое диф.уравнение и первый интеграл решил спасибо) , а вот с последними двумя чтото никак не получается( хоть вы и говорите что легко    не могли бы вы написать немного поподробнее)

Заранее очень благодарен

[renuar911]

\( u=2tg(2ln x) \)

Совсем несложно.

Последний пример. Альтернативные формулы:

\( 2^{y+1}(x+1)=2^{x+1}(y+1) \)

\( 2^x(y+1)=2^y(x+1) \)

Отсюда видно, что существуют 2 решения:

\( x_1=-1 ; \quad y_1=-1 \)

\( x_2=0 ; \quad y_2=0 \)

[sergeycoins]

большое спасибо) 

[Asix]

Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования
Для решения интегралов этот материал надо знать обязательно!

[Данила]

renuar911
А разве решением не будет x=y? ведь при любых х=у выполняется равенство)

[renuar911]

 Например, если x=5, то y=-0.8994853908

Общее выражение получается через спецфункцию Ламберта.

\( y=- \left( \ln  \left( 2 \right) +{\it W} \left( -1/2\,{\frac {
\ln  \left( 2 \right)  \left( x+1 \right) }{{e^{\ln  \left( 2 \right)
x}}}} \right)  \right)  \left( \ln  \left( 2 \right)  \right) ^{-1}
 \)

[Данила]

ок, соглашусь

[renuar911]

Стоп! Но правы мы оба. На графике два решения: прямая - это x=y, а кривая - то, о чем я сказал.


Получается, что, например, при x=2, есть 2 решения: y=2 и y=-0.451....
Или при x=1:  y=0 и y=1

Очень интересно, однако!

[Данила]

хм,и правда)