Объем тела, ограниченного поверхностями

[Archvile-UT]

Уже два дня бъюсь над решением и не могу понять где ошибаюсь 

Даны поверхности: \( x^2 + y^2 = 4y \);   \( z^2 = 4-y \);   \( z>=0 \).

Я так понимаю \( x^2 + y^2 = 4y \) --- это цилиндр с пресечением с осями Оx(0;0) Oy(0;4)
\( z^2 = 4-y \) ---- параболический цилиндр образующие которого параллельны Ox. Пересекают Oy(4;0) Oz(0;2).

\( V=\int_{-2}^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}+2}dy\int_{0}^{\sqrt{4-y}}dz \)

Ничего путного из ращета этого интеграла не получилось. Решил попробывать через полярные координаты:

\( V=\int_{0}^{\pi }d\varphi \int_{0}^{4sin\varphi }(\sqrt{4-\rho  sin\varphi}) \rho d\rho  \)

Тоже безрезультатно. Получаются огромные формулы.
Кто может подсказать где я ошибаюсь??

[Dimka1]

Уже два дня бъюсь над решением и не могу понять где ошибаюсь 

Даны поверхности: \( x^2 + y^2 = 4y \);   \( z^2 = 4-y \);   \( z>=0 \).

Я так понимаю \( x^2 + y^2 = 4y \) --- это цилиндр с пресечением с осями Оx(0;0) Oy(0;4)
\( z^2 = 4-y \) ---- параболический цилиндр образующие которого параллельны Ox. Пересекают Oy(4;0) Oz(0;2).

\( V=\int_{-2}^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}+2}dy\int_{0}^{\sqrt{4-y}}dz \)

Ничего путного из ращета этого интеграла не получилось. Решил попробывать через полярные координаты:

\( V=\int_{0}^{\pi }d\varphi \int_{0}^{4sin\varphi }(\sqrt{4-\rho  sin\varphi}) \rho d\rho  \)

Тоже безрезультатно. Получаются огромные формулы.
Кто может подсказать где я ошибаюсь??

К цилиндрическим координатам переходим и получаем
int (1,fi=0..Pi)dfi  int(r, r=0..4*sin fi)dr  int(1,z=0..sqrt(4-r*sin fi))dz=256/15

[Archvile-UT]

Что-то я не понял. Это вот такой интеграл или нет?

\( V=\int_{0}^{\pi }d\varphi \int_{0}^{4sin \varphi }r dr\int_{0}^{\sqrt{4-rsin\varphi }}dz \)

Если да, то он же аналогичен моему по полярным координатам. Опять получаются заоблочные формулы =/
Может в данных ошибка?

[Dimka1]

Что-то я не понял. Это вот такой интеграл или нет?

\( V=\int_{0}^{\pi }d\varphi \int_{0}^{4sin \varphi }r dr\int_{0}^{\sqrt{4-rsin\varphi }}dz \)

Если да, то он же аналогичен моему по полярным координатам. Опять получаются заоблочные формулы =/

Ну не знаю на счёт заоблачности. Интеграл вроде берется.

[Archvile-UT]

Что-то все онлайн-программы выдают какие-то ужасно большие результаты.
Даже мой любимый wolframalpha =/
А вы чем брали? Маткадом или сами?

[Dimka1]

maple

[Archvile-UT]

Вот же засада =(
Ну, хоть буду знать ответ.

[Archvile-UT]

А промежуточный интегралы не можете указать?

[Dimka1]

А промежуточный интегралы не можете указать?

Вот 2 способами (декартовая и цилиндрическая система координат)

[Archvile-UT]

Спасибо большое!
Теперь хоть промежуточные напишу и ,возможно, не будет вопросов "как считал?"