Задача Коши для линейного уравнения 1-го порядка.

[LED]

Решить задачу Коши для линейного уравнения 1-го порядка.

y'+5*y=3*x*e^(-x^2); y(0)=0

Решил так:

dy/dx+5*y=0
dy/dx=-5*y
dy/y=(-5*)dx
Проинтегрировав получаем
ln(y)=-5*x+c
Я думаю что правильно до этого решил. А вот как дальше пока не понял. Тут надо вытащить y
Но как его вытащить из ln(y)
Вообще как дальше решать?

___________________________________________________________________
От модератора:
Этот вопрос не связан с предыдущей задачей, поэтому его нужно задавать в отдельной теме.
Не нужно использовать красный цвет.
Исправила.

[Dlacier]

Вы нашли решение однородного уравнения, это еще не все.
Теперь находите частное решение неоднородного.
Их сумма и будет общим решением уравнения.
А чтобы выразить \( y \), используйте экспоненту \( e^{\ln y}=y \)

[LED]

И куда это подставить?
Как избавиться от ln
Если ВЫ знаете подскажите, как дальше...

[Dlacier]

Уже подсказала

\( e^{\ln y}=C_1e^{-5x} \)

А чтобы выразить \( y \), используйте экспоненту \( e^{\ln y}=y \)

[LED]

И все?
y=C₁e^-5x
И это все решение?

[Dlacier]

Нет конечно, это лишь решение однородного уравнения.

[LED]

И все таки если несложно подскажите как дальше...

[Dlacier]

Такие примеры обычно решаются методом вариации постоянной.
Предполагаете, что

\( y=C_1(x)e^{-5x} \)

Подставляете в исходное уравнение и находите \( C_1(x) \)

[LED]

(C₁(x)e^-5x)'+5*C₁(x)e^-5x=3xe^-x2

dy/dx+5*C₁(x)e^-5x=3xe^-x2

d(C₁(x)e^-5x)=int(3xe^-x2-5*C₁(x)e^-5x)dx

Dlacier

Правильно ли я решил?
Если правильно то дальше как?

[Dlacier]

Хотелось бы понять, что вы делаете и как интегрировать собираетесь?

\( y=C_1(x)e^{-5x} \)

\( y^\prime=C_1^\prime (x) e^{-5x} - 5 C_1(x)e^{-5x} \)

Теперь это нужно подставить в уравнение и попытаться найти \( C_1(x) \).
Решать не пробывала, но чувствую уравнение получится непростым.

[LED]

Да уж, очень не простым.

Решил дальше так
C1'(x)e^-5x-5*C1(x)e^-5x+5*C1(x)e^-5x=3xe^-x2

C1'(x)=3xe<sup>-x2-5x

C1'(x)=3xe-x2-5x

Отсюда

C1(x)=INT(3xe-x2-5x)dx


C1(x)=-3/2 (e)^((-x^2-5 x))-15/4 sqrt(Pi) (e)^((25/4)) erf(x+5/2)


Привел в рмисунке.  Ну и как тут дальше?</sup>

[Dlacier]

C1'(x)=3xe<sup>-x2-5x

Отсюда

C1(x)=INT(3xe-x2-5x)dx

C1(x)=-3/2 (e)^((-x^2-5 x))-15/4 sqrt(Pi) (e)^((25/4)) erf(x+5/2)

Ну и как тут дальше?</sup>

А решили вы похоже не сами?)

Подставляйте найденное \( C_1(x) \) в уравнений для \( y \), это и есть частное решение. А как известно, сумма решения однородного уравнения и частного решения, есть общее решение дифференциального уравнения.
А для нахождения константы интегрирования используйте начальное условие \( y(0)=0 \).
Найдете \( C \), запишите ответ.)

[LED]

А как ВЫ думаете решить такой интеграл?
Конечно Я решил его с помощью Maple.

y=  e^-5x * (3/2 (e)^((-x^2-5 x))-15/4 sqrt(Pi) (e)^((25/4)) erf(x+5/2))

Это будет так?

[Dlacier]

А как ВЫ думаете решить такой интеграл?
Конечно Я решил его с помощью Maple.

А почему тогда и исходное уравнение сразу через пакет не сделать?
И не мучаться)

y=  e^-5x * (3/2 (e)^((-x^2-5 x))-15/4 sqrt(Pi) (e)^((25/4)) erf(x+5/2))

Это будет так?

С моим ответом не сходится, распишите как находили.

P.S. Пишите формулы в Техе.

[LED]

Ну наверно будет так:

y=C1*e^-5x+(-3/2*e^(-x2-5x)-15/4*sqrt(pi)*e^25/4*erf(x+5/2))

подставляем y(0)=0

0=C1-3.44*10³

C1=3.44*10³

И тогда

 y=3.44*10³*e^-5x -3/2*e^(-x2-5x)-15/4*sqrt(pi)*e^25/4*erf(x+5/2)

Как еще.
А насчет пакета(Вы наверно имеете ввиду Maple), то я вычислил только интеграл и все...