Замена переменной дифференцирования

[DeadChild]

Добрый вечер! Опять задание на замену переменных. Как доделать?
Вводя новые переменные преобразовать уравнение:
\( y^2+(x^2-xy)y'=0,\,y=tx,\,y=y(t). \)
Нужно выразить производные через новую переменную (так мне говорил преподаватель).
\( y(x)=t\cdot x=t(y)\cdot x=t(y(x))\cdot x \)
\( y_{x}'=(t(y(x)))_{x}'\cdot x+t(y(x))\cdot 1=t_{x}'\cdot y_{x}'x+t\cdot 1 \)
\( y_{x}'(1-t_{x}'\cdot x)=t \)
\( y_{x}'=\frac{t}{1-t_{x}'\cdot x} \)
\( t_{y}'=\frac{1}{y_{t}'} \)
\( t_{x}'=t_{y}'\cdot y_{x}'} \)
\( t_{y}'=\frac{t_{x}'}{y_{x}'}=\frac{1}{y_{t}'} \)
\( t_{x}'=\frac{y_{x}'}{y_{t}'} \)
\( y_{x}'(1-\frac{y_{x}'}{y_{t}'}\cdot x)=t \)
\( y_{x}'=\frac{t}{1-\frac{y_{x}'}{y_{t}'}\cdot x}} \)
А дальше то что делать?

[lu]

\( y^2+(x^2-xy)y'=0,\,y=tx,\,y=y(x). \)
\( \,y=tx,\, t=t(x) \)
\( y'=t'x+t \)
\( t^2x^2+(x^2-tx^2)(t'x+t)=0 \)
\( t^2+(1-t)(t'x+t)=0 \)
\( t^2+t'x(1-t)+t-t^2=0 \)
\( t'x(t-1)=t \)
\( \frac{(t-1)dt}{t}=\frac{dx}{x} \)
\( t-\ln{t}=\ln{x}+ln{c} \)
\( Cxt=e^t \)
\( Cy=e^{y/x} \)
тип того... проверьте вычисления

[DeadChild]

Ничего не поняла, что Вы такое сделали...

[lu]

во первых \( y \) у вас зависит от \( x \)
\( t \) тоже зависит от \( x \)

[DeadChild]

Это не по предмету "Дифференциальные уравнения", а "Математический анализ".
Преподаватель сказал, что нужно выразить \( y_{x}' \). Я вроде выразила... Может еще чего-то не хватает?.. Потом полученное нужно подставить в исходную формулу. В итоге получится другая, т.е. у нас было \( y=y(x) \) станет \( y=y(t) \). Значит \( x \) в новом уравнении быть не должно.

[lu]

как это так? смысл так переходить
х - свободная переменная
у - зависимая переменная
t - новая переменная, к которому мы должны перейти

ну тогда
\( x=\frac{y}{t} \)
\( y_{x}'=(t(y(x)))_{x}'\cdot x+t(y(x))\cdot 1=t_{y}'\cdot y_{x}'x+t\cdot 1 \) (1)
из первоначального уравнения:
\( y'=\frac{y^2}{xy-x^2} \)
поставляем в уравнение (1):
\( \frac{y^2}{xy-x^2}(1-t'x)=t \)
х выражаем через у и t, получаем:
\( \frac{y^2}{\frac{y}{t}y-(\frac{y}{t})^2}(1-t'\frac{y}{t})=t \)
\( \frac{1}{\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}\frac{t-t'y}{t}=t \)
\( \frac{t^2}{t-1}\frac{t-t'y}{t}=t \)
\( t-t'y=t-1 \)
\( t'y=1 \)
\( dt=\frac{dy}{y} \)
\( t=\ln(Cy) \)
и что это нам дало?

[lu]

а ну да вместо t поставляем \( \frac{y}{x} \)
и получаем ответ, причем такой же что и первым способом кажется

[DeadChild]

Что-то я все равно недопонимаю... Как вообще так подставили? Почему так умножение получилось?
И что, все то, что мне преподаватель выводил ничего не надо???

[lu]

то что вы написали на первом сообщении это у вас преподаватель вывел? прям все?
мне кажется там вообще гон какой то... у зависит от t в то же время t зависит от y, вроде перешли к новым переменным, но  старые переменные остались...
и вы индексы везде поперепутали... что вообще ничего не понятно...

[DeadChild]

то что вы написали на первом сообщении это у вас преподаватель вывел? прям все?
мне кажется там вообще гон какой то... у зависит от t в то же время t зависит от y, вроде перешли к новым переменным, но  старые переменные остались...
и вы индексы везде поперепутали... что вообще ничего не понятно...

Да! Все, что в первом сообщении мне преподаватель написал. И я ни сколько не сомневаюсь в ее правоте. Она говорила что-то про сложную функцию... t зависит от y, а y от x. Может в этом дело? Она еще сказала, что можно несколько вариантов решения рассмотреть, долго думала как легче вывести...
Вот еще тут формулы она выводила, не знаю поможет или нет...
\( y=tx \)
\( y(x)->y(t) \)
\( y_{t}'=\frac{1}{t_{y}'} \)
\( t=t^-1(y) \)
\( y_{t}'=(tx)_{x}'=... \)
\( x=\frac{y(t)}{t} \)
\( x_{y}'=\frac{1}{y_{x}'} \)
\( x_{t}'=\frac{y_{t}'t-y}{t^2} \)