help! прием представления дробей ввиде разности

[Olik]

Такое задание поставило меня в тупик. Решили просто приведя к общему знаменателю, но это не  тот путь решения, который спрашивается в условии.

Используя прием представления дробей в виде разности, вычислите:
\(  \frac{1}{10*11} + \frac{1}{11*12} + \frac{1}{12*13} +...+ \frac{1}{18*19} + \frac{1}{19*20} =  \)

\(  \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \frac{1}{99} =  \)

Что это за прием и как его применять в этих случаях?

Объясните, кто знает, пожалуйста.

[Dlacier]

возможно так
\(  \frac{11-10}{10*11} + \frac{12-11}{11*12} + \frac{13-12}{12*13} +...+ \frac{19-18}{18*19} + \frac{20-19}{19*20} =  \)

ну а второе можно так
\(  \frac{1}{3} + \frac{1}{3*5} + \frac{1}{5*7} + \frac{1}{7*9} + \frac{1}{9*11} =  \)
\( = \frac{1}{3} + \frac{5-3}{2*3*5} + \frac{7-5}{2*5*7} + \frac{9-7}{2*7*9} + \frac{11-9}{2*9*11} =  \)
после всех преобразований останется
\(  =\frac{1}{3} + \frac{1}{2*3} +  \frac{1}{2*11} =  \)

осталось досчитать)

[Olik]

спасибо:) Все оказалось проще.

1/10*11 = 1/10 - 1/11

(1/10-1/11)+ (1/11-1/12)+ (1/12-1/13)+...+(1/19-1/20)=1/10 -1/20= 1/20

[Dlacier]

у меня написано то же самое, если вы сократите дроби, то убедитесь в этом
\(  \frac{11-10}{10*11} + \frac{12-11}{11*12} +...+ \frac{20-19}{19*20} =  \)

\(  \frac{11}{10*11} - \frac{10}{10*11}+ \frac{12}{11*12} - \frac{11}{11*12}+...+ \frac{20}{19*20} -  \frac{19}{19*20}  =  \)

\(  \frac{1}{10} - \frac{1}{11}+ \frac{1}{11} - \frac{1}{12}+...+ \frac{1}{19} -  \frac{1}{20}  =  \)

[Infinity_Amy]

Уважаемая Dlaсier!!Кто-нибудь!!!
Не могла бы вы, пожалуйста, более подробно написать как именно проводятся преобразования в этом примерею (сообщение к
"после всех преобразований останется")! Ломаю голову и не понимаю. Спасибо!!

возможно так
\(  \frac{11-10}{10*11} + \frac{12-11}{11*12} + \frac{13-12}{12*13} +...+ \frac{19-18}{18*19} + \frac{20-19}{19*20} =  \)

ну а второе можно так
\(  \frac{1}{3} + \frac{1}{3*5} + \frac{1}{5*7} + \frac{1}{7*9} + \frac{1}{9*11} =  \)
\( = \frac{1}{3} + \frac{5-3}{2*3*5} + \frac{7-5}{2*5*7} + \frac{9-7}{2*7*9} + \frac{11-9}{2*9*11} =  \)
после всех преобразований останется
\(  =\frac{1}{3} + \frac{1}{2*3} +  \frac{1}{2*11} =  \)

осталось досчитать)

[tig81]

используется разложение на простые множители.

[Infinity_Amy]

а после того как мы сделали разложение на простые множители КАК сделать так чтобы получилось  1/3 + 1/2*3 + 1/2*11
какие именно преобразования делались?

я, наверное что-то пропускаю.. если можно распишите, пожалуйста подробно
спасибо за объяснение!  

[tig81]

а после того как мы сделали разложение на простые множители КАК сделать так чтобы получилось  1/3 + 1/2*3 + 1/2*11
какие именно преобразования делались?

я, наверное что-то пропускаю.. если можно распишите, пожалуйста подробно
спасибо за объяснение!  

судя по всему некоторые дроби взаимно уничтожаются. Какие у вас получились простые дроби?

[Infinity_Amy]

к сожаление именно этого я понять и не могу(  Как они могут взаимно уничтожася если у них разные числители и знаменатели
из знаменателя убрали 5, 7, 9...

[tig81]

показывайте решение, посмотрим...

[Infinity_Amy]

ЭТАП 1.      1/3 + 1/15 + 1/35 + 1/63 + 1/99 =
ЭТАП 2.      1/3 + 1/3*5 + 1/7*5 + 1/7*9 + 1/9*11 = (раскладываю на простые множители)
ЭТАП 3.      1/3 + 5-3/2*3*5 + 7-5/2*7*5 + 9-7/2*7*9 + 11-9/9*11*2 = (использую прием представления дробей в виде разности)
ЭТАП 4.      1/3 + 1/2 (1/5 (2/3 + 2/7) + 1/9 (2/7 + 2/11))

на 4 этапе я выношу за скобки, чтобы было легче посчитать, НО моя методика не работает! решение становиться запутаннее, что бы Вы могли порекомендовать мне сделать после третьего этапа для ЭФФЕКТивного избавления от лишних чисел в знаменателе?.... я что-то явно не понимаю
спасибо!!

[maximus]

расшифровка примера ¹/₃+¹/₁₅+¹/₃₅+¹/₆₃+¹/₉₉=¹/₃+^(5-3)/_2*3*5+^(7-5)/_2*5*7+^(9-7)/_2*7*9+^(11-9)/_2*9*11=¹/₃+⁵/_2*3*5-³/_2*3*5+⁷/_2*5*7-⁵/_2*5*7+⁹/_2*7*9-⁷/_2*7*9+¹¹/_2*9*11-⁹/_2*9*11=¹/₃+¹/_2*3-¹/_2*5+¹/_2*5-¹/_2*7+¹/_2*7-^1/_2*9+¹/_2*9-¹/_2*11=¹/₃+¹/_2*3-¹/_2*11=⁽²⁺¹⁾/_2*3-¹/_2*11=^(11*(2+1)-3)/_2*3*11=^(11*3-3)/_2*3*11=^(3*(11-1))/_2*3*11=^(11-1)/_2*11=¹⁰/₂₂